Решение заданий С-4 и С-5 (Вариант 1): сложение и вычитание дробей

Ниже представлено решение заданий из самостоятельных работ С-4 и С-5 (Вариант 1), оформленное для записи в тетрадь. С-4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Вариант 1. а) Упростите выражение: \[ x - \frac{x}{x+1} \] Приведем к общему знаменателю \( x+1 \): \[ \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2 + x - x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1} \] Ответ: \( \frac{x^2}{x+1} \). б) Упростите выражение: \[ \frac{m+2}{4m} - \frac{1}{m+4} \] Общий знаменатель: \( 4m(m+4) \). \[ \frac{(m+2)(m+4) - 1 \cdot 4m}{4m(m+4)} = \frac{m^2 + 4m + 2m + 8 - 4m}{4m(m+4)} = \frac{m^2 + 2m + 8}{4m(m+4)} \] Ответ: \( \frac{m^2 + 2m + 8}{4m(m+4)} \). в) Упростите выражение: \[ \frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y} \] Общий знаменатель: \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \). \[ \frac{x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - xy + xy + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \] Ответ: \( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \). г) Упростите выражение: \[ \frac{3x+y}{x^2+xy} - \frac{x+3y}{y^2+xy} \] Разложим знаменатели на множители: \( x^2+xy = x(x+y) \) и \( y^2+xy = y(y+x) \). Общий знаменатель: \( xy(x+y) \). \[ \frac{y(3x+y) - x(x+3y)}{xy(x+y)} = \frac{3xy + y^2 - x^2 - 3xy}{xy(x+y)} = \frac{y^2 - x^2}{xy(x+y)} \] Разложим числитель по формуле разности квадратов: \[ \frac{(y-x)(y+x)}{xy(x+y)} = \frac{y-x}{xy} \] Ответ: \( \frac{y-x}{xy} \). С-5. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Вариант 1. а) Упростите выражение: \[ \frac{x-9}{x^2-9} - \frac{3}{3x-x^2} \] Разложим знаменатели: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) и \( 3x-x^2 = x(3-x) = -x(x-3) \). Перепишем выражение: \[ \frac{x-9}{(x-3)(x+3)} + \frac{3}{x(x-3)} \] Общий знаменатель: \( x(x-3)(x+3) \). \[ \frac{x(x-9) + 3(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2 - 9x + 3x + 9}{x(x^2-9)} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x(x-3)(x+3)} \] Заметим в числителе квадрат разности: \( x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \). \[ \frac{(x-3)^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{x(x+3)} \] Ответ: \( \frac{x-3}{x^2+3x} \). б) Упростите выражение: \[ \frac{1}{x-2} - \frac{6x}{x^3-8} \] Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: \( x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) \). Общий знаменатель: \( (x-2)(x^2+2x+4) \). \[ \frac{1 \cdot (x^2+2x+4) - 6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{x^2 + 2x + 4 - 6x}{x^3-8} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^3-8} \] В числителе квадрат разности: \( x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \). \[ \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{x-2}{x^2+2x+4} \] Ответ: \( \frac{x-2}{x^2+2x+4} \).