Решение задачи: Вероятность поражения мишеней

Решение задачи: Дано: Количество мишеней: \( n = 5 \). Вероятность попадания при одном выстреле: \( p_0 = 0,6 \). Вероятность промаха при одном выстреле: \( q_0 = 1 - 0,6 = 0,4 \). На каждую мишень дается не более двух выстрелов. 1. Найдем вероятность поражения одной мишени \( p \). Мишень будет поражена, если стрелок попадет с первого выстрела ИЛИ промахнется первым, но попадет вторым. \[ p = p_0 + q_0 \cdot p_0 = 0,6 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,6 + 0,24 = 0,84 \] Вероятность того, что мишень НЕ будет поражена: \[ q = 1 - p = 1 - 0,84 = 0,16 \] 2. Используем формулу Бернулли для вычисления вероятностей поражения \( k \) мишеней из \( n \): \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] 3. Вычислим вероятность того, что стрелок поразит ровно четыре мишени (\( k = 4 \)): \[ P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^1 = 5 \cdot (0,84)^4 \cdot 0,16 \] 4. Вычислим вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени (\( k = 2 \)): \[ P_5(2) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot q^3 \] Где \( C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \). \[ P_5(2) = 10 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3 \] 5. Найдем, во сколько раз \( P_5(4) \) больше \( P_5(2) \): \[ \frac{P_5(4)}{P_5(2)} = \frac{5 \cdot (0,84)^4 \cdot 0,16}{10 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3} \] Сократим дробь: \[ \frac{5}{10} \cdot \frac{(0,84)^2}{(0,16)^2} = 0,5 \cdot \left( \frac{0,84}{0,16} \right)^2 \] \[ \frac{0,84}{0,16} = \frac{84}{16} = 5,25 \] \[ 0,5 \cdot (5,25)^2 = 0,5 \cdot 27,5625 = 13,78125 \] Ответ: в 13,78125 раз.