Решение системы уравнений №578

Решение системы уравнений № 578. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Решим её методом подстановки. 1. Выразим \(x\) из второго уравнения: \[ x = 5 - y \] 2. Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ (5 - y)^2 + y^2 = 13 \] 3. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ 25 - 10y + y^2 + y^2 = 13 \] \[ 2y^2 - 10y + 25 - 13 = 0 \] \[ 2y^2 - 10y + 12 = 0 \] 4. Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: \[ y^2 - 5y + 6 = 0 \] 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \] 6. Найдем соответствующие значения \(x\), подставляя \(y\) в выражение \(x = 5 - y\): Если \( y_1 = 3 \), то \( x_1 = 5 - 3 = 2 \). Если \( y_2 = 2 \), то \( x_2 = 5 - 2 = 3 \). Ответ: (2; 3), (3; 2).