Решение задач: Формулы двойного угла

Решение задач из раздела Формулы двойного угла. Задание 14. Вычислить: а) \( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \) Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). \[ 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] б) \( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \) Домножим и разделим на 2, чтобы применить формулу: \[ \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] в) \( 4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ \) \[ 4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2 \cdot (2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ) = 2 \sin 150^\circ = 2 \sin(180^\circ - 30^\circ) = 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] ж) \( \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ \) Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). \[ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] и) \( 2 \cos^2 75^\circ - 1 \) Используем формулу: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \). \[ 2 \cos^2 75^\circ - 1 = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] л) \( 1 - 2 \sin^2 \frac{7\pi}{12} \) Используем формулу: \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \). \[ 1 - 2 \sin^2 \frac{7\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{7\pi}{12}) = \cos \frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Задание 15. Упростить выражение: а) \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha} \) \[ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha} = 2 \sin \alpha \] б) \( \frac{2 \sin^2 \alpha}{\sin 2\alpha} \) \[ \frac{2 \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha \] в) \( \frac{1 - \cos 2\beta}{\sin \beta} \) Используем \( 1 - \cos 2\beta = 2 \sin^2 \beta \): \[ \frac{2 \sin^2 \beta}{\sin \beta} = 2 \sin \beta \] г) \( \frac{1 + \cos 2\beta}{\cos \beta} \) Используем \( 1 + \cos 2\beta = 2 \cos^2 \beta \): \[ \frac{2 \cos^2 \beta}{\cos \beta} = 2 \cos \beta \] Задание 17. Вычислить: а) \( \sin \alpha \), если \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} = 2 \) Используем универсальную тригонометрическую подстановку: \( \sin \alpha = \frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \). \[ \sin \alpha = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5} = 0,8 \] б) \( \cos \alpha \), если \( \text{tg} \frac{\alpha}{2} = 3 \) Используем формулу: \( \cos \alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \). \[ \cos \alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0,8 \]