Решение задач на нахождение тангенса, синуса и косинуса угла

Вариант 1 Задача 1. Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке. Решение: Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. По рисунку (по клеткам) определим длины катетов: Противолежащий катет \( AB = 4 \) клетки. Прилежащий катет \( AC = 3 \) клетки. \[ \text{tg } C = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \] Ответ: \( 1\frac{1}{3} \). Задача 2. В прямоугольном треугольнике ABC, угол С = 90 градусов, катеты BC = 8 см, AC = 15 см. Найдите синус, косинус и тангенс угла А. Решение: 1) Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \] 2) Найдем тригонометрические функции угла А: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \] \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \] \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \] Ответ: \( \sin A = \frac{8}{17} \), \( \cos A = \frac{15}{17} \), \( \text{tg } A = \frac{8}{15} \). Задача 3. В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, AB = 16, \( \cos A = \frac{7}{8} \). Найдите AC. Решение: По определению косинуса: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \] Отсюда выразим AC: \[ AC = AB \cdot \cos A = 16 \cdot \frac{7}{8} = 2 \cdot 7 = 14 \] Ответ: 14. Задача 4. В треугольнике ABC угол С прямой, BC = 8, \( \sin A = 0,4 \). Найдите AB. Решение: По определению синуса: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \] Отсюда выразим AB: \[ AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{8}{0,4} = \frac{80}{4} = 20 \] Ответ: 20. Задача 5. Найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 см и \( 10\sqrt{3} \) см. Решение: Пусть \( a = 10 \), \( b = 10\sqrt{3} \). 1) Гипотенуза \( c \): \[ c = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = \sqrt{400} = 20 \text{ см} \] 2) Углы: \[ \text{tg } A = \frac{a}{b} = \frac{10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \angle A = 30^\circ \] \[ \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: гипотенуза 20 см, углы \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \). Задача 6. Синус острого угла А прямоугольного треугольника ABC равен \( \frac{\sqrt{21}}{5} \). Найдите \( \cos A \). Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \): \[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left( \frac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \] Так как угол А острый, \( \cos A > 0 \): \[ \cos A = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4 \] Ответ: 0,4.