Вычисление sin 2α, cos 2α, tg 2α при sin α = -3/5

Задание 13. Вычислить \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), \(tg 2\alpha\). а) Дано: \(\sin \alpha = -\frac{3}{5}\), \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (III четверть). 1. Найдем \(\cos \alpha\). В III четверти косинус отрицательный. \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] 2. Вычислим двойные углы: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} = 0,96 \] \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} = 0,28 \] \[ tg 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \] б) Дано: \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\), \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (IV четверть). 1. Найдем \(\sin \alpha\). В IV четверти синус отрицательный. \[ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \] 2. Вычислим двойные углы: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{5}{13} = -\frac{120}{169} \] \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} \] \[ tg 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-120/169}{-119/169} = \frac{120}{119} = 1\frac{1}{119} \] в) Дано: \(tg \alpha = -\frac{3}{4}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (II четверть). 1. Используем формулу тангенса двойного угла: \[ tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (-3/4)}{1 - (-3/4)^2} = \frac{-3/2}{1 - 9/16} = \frac{-3/2}{7/16} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7} = -3\frac{3}{7} \] 2. Найдем \(\cos 2\alpha\) через тангенс: \[ \cos 2\alpha = \frac{1 - tg^2 \alpha}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25} = 0,28 \] 3. Найдем \(\sin 2\alpha\): \[ \sin 2\alpha = tg 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = -\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{25} = -\frac{24}{25} = -0,96 \] г) Дано: \(ctg \alpha = -\frac{4}{3}\), \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (IV четверть). 1. Найдем \(tg \alpha\): \[ tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha} = -\frac{3}{4} \] 2. Заметим, что значения тангенса и четверть для двойного угла здесь приведут к тем же результатам, что и в пункте (в), но с учетом знаков функций для \(\alpha\) из IV четверти: \[ tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-3/4)}{1 - (-3/4)^2} = -\frac{24}{7} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1 - (-3/4)^2}{1 + (-3/4)^2} = \frac{7}{25} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (-3/4)}{1 + 9/16} = \frac{-3/2}{25/16} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{24}{25} \]