Решение задачи: sin 2α, cos 2α, tg 2α

Решение задачи №13 (пункт а) из раздела "Формулы двойного угла". Условие: Вычислить \( \sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \text{tg } 2\alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Решение: 1. Определим \( \cos \alpha \). Так как угол \( \alpha \) находится в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)), косинус в этой четверти отрицательный. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] 2. Вычислим \( \sin 2\alpha \) по формуле двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} = 0,96 \] 3. Вычислим \( \cos 2\alpha \) по формуле двойного угла: \[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] \[ \cos 2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} = 0,28 \] 4. Вычислим \( \text{tg } 2\alpha \): \[ \text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \] \[ \text{tg } 2\alpha = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \] Ответ: \( \sin 2\alpha = 0,96 \); \( \cos 2\alpha = 0,28 \); \( \text{tg } 2\alpha = 3\frac{3}{7} \). --- Решение задачи №14 (пункты а, б, в). а) \( 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \) Используем формулу \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \): \[ 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] б) \( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \) Применим ту же формулу, предварительно домножив и разделив на 2: \[ \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] в) \( 4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ \) \[ 4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2 \cdot (2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ) = 2 \sin 150^\circ \] Так как \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \): \[ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]