Решение задачи 14: Вычисление тригонометрических выражений

Ниже представлено решение заданий №14 и №15 из вашего листка. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 14. Вычислить. Для решения используем формулы двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \] \[ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \] а) \( 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) б) \( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \) в) \( 4\sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2 \cdot (2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ) = 2 \sin 150^\circ = 2 \sin(180^\circ - 30^\circ) = 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) г) \( \frac{1}{2} \sin 105^\circ \cos 105^\circ = \frac{1}{4} \cdot (2 \sin 105^\circ \cos 105^\circ) = \frac{1}{4} \sin 210^\circ = \frac{1}{4} \sin(180^\circ + 30^\circ) = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} \) д) \( (\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12})^2 = \cos^2 \frac{\pi}{12} + 2\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12} = 1 + \sin \frac{\pi}{6} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5 \) е) \( (\sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{7\pi}{8})^2 = \sin^2 \frac{7\pi}{8} - 2\sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} + \cos^2 \frac{7\pi}{8} = 1 - \sin \frac{7\pi}{4} = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \) ж) \( \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) з) \( \sin^2 \frac{\pi}{8} - \cos^2 \frac{\pi}{8} = -(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) и) \( 2\cos^2 75^\circ - 1 = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) к) \( 1 - 2\cos^2 \frac{5\pi}{8} = -(2\cos^2 \frac{5\pi}{8} - 1) = -\cos \frac{5\pi}{4} = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) л) \( 1 - 2\sin^2 \frac{7\pi}{12} = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) Задание 15. Упростить выражение. а) \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha \) б) \( \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg} \alpha \) в) \( \frac{1 - \cos 2\beta}{\sin \beta} = \frac{2\sin^2 \beta}{\sin \beta} = 2\sin\beta \) г) \( \frac{1 + \cos 2\beta}{\cos \beta} = \frac{2\cos^2 \beta}{\cos \beta} = 2\cos\beta \) д) \( \frac{\cos 40^\circ + \sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \frac{(\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ) + \sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \frac{\cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = 1 \) е) \( \frac{\cos 10^\circ}{\cos 5^\circ + \sin 5^\circ} + \sin 5^\circ = \frac{\cos^2 5^\circ - \sin^2 5^\circ}{\cos 5^\circ + \sin 5^\circ} + \sin 5^\circ = \frac{(\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)(\cos 5^\circ + \sin 5^\circ)}{\cos 5^\circ + \sin 5^\circ} + \sin 5^\circ = \cos 5^\circ - \sin 5^\circ + \sin 5^\circ = \cos 5^\circ \)