Решение:

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в тетрадь. Задача А1. Дано: \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) \( AB : A_1B_1 = 4 : 3 \) \( AB = 8 \) см, \( AC = 12 \) см, \( BC = 16 \) см. Найти: \( A_1B_1, A_1C_1, B_1C_1 \). Решение: Так как треугольники подобны, их сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия \( k \) равен: \[ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{4}{3} \] Отсюда находим стороны второго треугольника: 1) \( A_1B_1 = \frac{3}{4} AB = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \) (см). 2) \( A_1C_1 = \frac{3}{4} AC = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \) (см). 3) \( B_1C_1 = \frac{3}{4} BC = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12 \) (см). Ответ: 6 см, 9 см, 12 см. Задача В2. Дано: \( \triangle MNK \sim \triangle M_1N_1K_1 \) \( MN = 10 \) см, \( MK = 12 \) см, \( NK = 13 \) см. \( P_{M_1N_1K_1} = 140 \) см, \( S_{MNK} = 32,5 \) см\(^2\). Найти: стороны \( \triangle M_1N_1K_1 \) и \( S_{M_1N_1K_1} \). Решение: 1) Найдем периметр первого треугольника: \( P_{MNK} = 10 + 12 + 13 = 35 \) (см). 2) Найдем коэффициент подобия \( k \) через отношение периметров: \[ k = \frac{P_{M_1N_1K_1}}{P_{MNK}} = \frac{140}{35} = 4 \] 3) Находим стороны \( \triangle M_1N_1K_1 \): \( M_1N_1 = 4 \cdot MN = 4 \cdot 10 = 40 \) (см). \( M_1K_1 = 4 \cdot MK = 4 \cdot 12 = 48 \) (см). \( N_1K_1 = 4 \cdot NK = 4 \cdot 13 = 52 \) (см). 4) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{M_1N_1K_1}}{S_{MNK}} = k^2 = 4^2 = 16 \] \( S_{M_1N_1K_1} = 16 \cdot S_{MNK} = 16 \cdot 32,5 = 520 \) (см\(^2\)). Ответ: 40 см, 48 см, 52 см; 520 см\(^2\). Задача С3. Дано: \( P_1 : P_2 = 2 : 3 \) \( S_1 + S_2 = 260 \) см\(^2\). Найти: \( S_1, S_2 \). Решение: 1) Коэффициент подобия \( k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3} \). 2) Отношение площадей равно \( k^2 \): \[ \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Пусть \( x \) — одна часть площади. Тогда \( S_1 = 4x \), а \( S_2 = 9x \). 3) Составим уравнение по условию суммы площадей: \[ 4x + 9x = 260 \] \[ 13x = 260 \] \[ x = 20 \] 4) Вычисляем площади: \( S_1 = 4 \cdot 20 = 80 \) (см\(^2\)). \( S_2 = 9 \cdot 20 = 180 \) (см\(^2\)). Ответ: 80 см\(^2\), 180 см\(^2\).