Решение задачи №1: Параллельные прямые и секущая

Решение задач Варианта 2. Задача №1 (рис. 1) Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая, \(\angle 1 + \angle 2 = 106^{\circ}\). Найти: все образовавшиеся углы. Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(a, b\) и секущей \(c\). По свойству параллельных прямых они равны: \(\angle 1 = \angle 2\). 2) Так как их сумма равна \(106^{\circ}\), то \(\angle 1 = \angle 2 = 106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}\). 3) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные, значит \(\angle 3 = \angle 1 = 53^{\circ}\). 4) Углы \(\angle 2\) и \(\angle 7\) — вертикальные, значит \(\angle 7 = \angle 2 = 53^{\circ}\). 5) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 4\) — смежные, их сумма \(180^{\circ}\). Значит, \(\angle 4 = 180^{\circ} - 53^{\circ} = 127^{\circ}\). 6) По свойству вертикальных и соответственных углов: \(\angle 4 = \angle 5 = \angle 6 = \angle 8 = 127^{\circ}\). Ответ: четыре угла по \(53^{\circ}\) и четыре угла по \(127^{\circ}\). Задача №2 (рис. 2) Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 160^{\circ}\). Найти: \(\angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются накрест лежащими при прямых \(a, b\) и секущей \(AB\). Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то по признаку параллельности прямых \(a \parallel b\). 2) Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) являются односторонними при параллельных прямых \(a, b\) и секущей \(BC\). 3) По свойству параллельных прямых сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\): \[ \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} \] \[ 160^{\circ} + \angle 4 = 180^{\circ} \] \[ \angle 4 = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \] Ответ: \(20^{\circ}\). Задача №3 Дано: \(\triangle CAE\), \(AK\) — биссектриса, \(KN \parallel CA\), \(N \in AE\), \(\angle CAE = 80^{\circ}\). Найти: углы \(\triangle AKN\). Решение: 1) Так как \(AK\) — биссектриса \(\angle CAE\), то \(\angle CAK = \angle KAN = 80^{\circ} : 2 = 40^{\circ}\). 2) Так как \(KN \parallel CA\), то \(\angle CKA = \angle AKN\) (накрест лежащие при секущей \(AK\)). Но нам удобнее рассмотреть \(\angle C AK\) и \(\angle AKN\). Они накрест лежащие при \(KN \parallel CA\) и секущей \(AK\), значит \(\angle AKN = \angle CAK = 40^{\circ}\). 3) В \(\triangle AKN\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). \[ \angle ANK = 180^{\circ} - (\angle KAN + \angle AKN) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ} \] Ответ: \(40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ}\). Задача №4 (рис. 3) Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая, \(\angle 1 : \angle 2 = 7 : 3\). Найти: \(\angle 1, \angle 2\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются односторонними при \(a \parallel b\). Их сумма равна \(180^{\circ}\). 2) Пусть одна часть равна \(x\). Тогда \(\angle 1 = 7x\), \(\angle 2 = 3x\). \[ 7x + 3x = 180^{\circ} \] \[ 10x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 18^{\circ} \] 3) \(\angle 1 = 7 \cdot 18^{\circ} = 126^{\circ}\). 4) \(\angle 2 = 3 \cdot 18^{\circ} = 54^{\circ}\). Ответ: \(126^{\circ}, 54^{\circ}\). Задача №5 (рис. 4) Дано: \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\), \(\angle 3\) на \(35^{\circ}\) меньше \(\angle 4\). Найти: \(\angle 3, \angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — односторонние. Так как их сумма \(180^{\circ}\), то прямые \(a\) и \(b\) параллельны. 2) Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — накрест лежащие при \(a \parallel b\), значит \(\angle 3 = \angle 4\). 3) В условии сказано, что \(\angle 3\) на \(35^{\circ}\) меньше \(\angle 4\). Это возможно только если в условии опечатка и имелись в виду другие углы (например, смежные), либо прямые не параллельны. Однако, если следовать логике чертежа и стандартных задач: если \(a \parallel b\), то \(\angle 3 = \angle 4\). Если же \(\angle 4\) и \(\angle 3\) — это углы при вершинах, которые в сумме дают \(180^{\circ}\) (как смежные или односторонние), то: Пусть \(\angle 3 = x\), тогда \(\angle 4 = x + 35^{\circ}\). Если они односторонние: \(x + x + 35^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2x = 145^{\circ} \Rightarrow x = 72,5^{\circ}\). Но на рис. 4 \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — накрест лежащие. При \(a \parallel b\) они обязаны быть равны. Вероятно, в условии задачи №5 подразумевается, что \(\angle 3\) и \(\angle 4\) — это углы, сумма которых \(180^{\circ}\) (например, \(\angle 4\) и угол, смежный с \(\angle 3\)). Ответ: Если \(a \parallel b\), то \(\angle 3 = \angle 4\). Если они в сумме \(180^{\circ}\), то \(72,5^{\circ}\) и \(107,5^{\circ}\).