Решение задач по математике с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задание 1. Найдите значение выражения: \( 12 \sin 150^\circ \cdot \cos 120^\circ \). Решение: Используем формулы приведения: \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) \( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \) Подставим значения: \[ 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 6 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -3 \] Ответ: -3. Задание 2. Найдите значение выражения: \( \frac{19}{\cos^2 37^\circ + 1 + \cos^2 53^\circ} \). Решение: Заметим, что \( 53^\circ = 90^\circ - 37^\circ \). Тогда \( \cos 53^\circ = \cos(90^\circ - 37^\circ) = \sin 37^\circ \). Следовательно, \( \cos^2 53^\circ = \sin^2 37^\circ \). Знаменатель примет вид: \( \cos^2 37^\circ + 1 + \sin^2 37^\circ = (\cos^2 37^\circ + \sin^2 37^\circ) + 1 = 1 + 1 = 2 \) Вычисляем дробь: \[ \frac{19}{2} = 9,5 \] Ответ: 9,5. Задание 3. Найдите значение выражения: \( \frac{32 \cos 26^\circ}{\sin 64^\circ} \). Решение: Так как \( 64^\circ = 90^\circ - 26^\circ \), то \( \sin 64^\circ = \sin(90^\circ - 26^\circ) = \cos 26^\circ \). \[ \frac{32 \cos 26^\circ}{\cos 26^\circ} = 32 \] Ответ: 32. Задание 4. Найдите \( 24 \cos 2\alpha \), если \( \sin \alpha = -0,2 \). Решение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \). \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (-0,2)^2 = 1 - 2 \cdot 0,04 = 1 - 0,08 = 0,92 \) Находим искомое значение: \[ 24 \cdot 0,92 = 22,08 \] Ответ: 22,08. Задание 5. Найдите \( 26 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) \), если \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \). Решение: По формуле приведения \( \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha \). Так как угол находится в IV четверти, синус там отрицательный. \( \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \) Вычисляем: \[ 26 \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = 2 \cdot (-5) = -10 \] Ответ: -10. Задание 6. Найдите значение выражения: \( \frac{5 \sin 74^\circ}{\cos 37^\circ \cdot \cos 53^\circ} \). Решение: Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 74^\circ = 2 \sin 37^\circ \cos 37^\circ \). Также \( \cos 53^\circ = \sin 37^\circ \). Подставим в выражение: \[ \frac{5 \cdot 2 \sin 37^\circ \cos 37^\circ}{\cos 37^\circ \cdot \sin 37^\circ} = 5 \cdot 2 = 10 \] Ответ: 10. Задание 7. Найдите значение выражения \( 5 \sin(\alpha - 7\pi) - 11 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) \), если \( \sin \alpha = -0,25 \). Решение: 1) \( \sin(\alpha - 7\pi) = -\sin(7\pi - \alpha) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin \alpha \). 2) \( \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha \). Выражение принимает вид: \( 5(-\sin \alpha) - 11 \sin \alpha = -5 \sin \alpha - 11 \sin \alpha = -16 \sin \alpha \) Подставим \( \sin \alpha = -0,25 \): \[ -16 \cdot (-0,25) = 4 \] Ответ: 4. Задание 8. Найдите \( \text{tg } \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \). Решение: Угол в IV четверти, значит \( \sin \alpha < 0 \). \( \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{10}{100}} = -\sqrt{\frac{90}{100}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \) \( \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3\sqrt{10}/10}{\sqrt{10}/10} = -3 \) Ответ: -3. Задание 9. Найдите значение выражения: \( 4\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{3} \). Решение: \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) Вычисляем: \[ 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \] Ответ: 2. Задание 10. Найдите значение выражения: \( 24\sqrt{2} \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \). Решение: \( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) \( \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) Вычисляем: \[ 24\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -6 \cdot 2 = -12 \] Ответ: -12. Задание 11. Найдите значение выражения: \( 5 \text{tg } 17^\circ \cdot \text{tg } 107^\circ \). Решение: \( \text{tg } 107^\circ = \text{tg }(90^\circ + 17^\circ) = -\text{ctg } 17^\circ \). Используем свойство \( \text{tg } x \cdot \text{ctg } x = 1 \): \[ 5 \text{tg } 17^\circ \cdot (-\text{ctg } 17^\circ) = -5 \cdot 1 = -5 \] Ответ: -5.