Решение задач по тригонометрии. Вариант 1

Ниже представлено решение заданий Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Для построения точек на единичной окружности: 1) Точка B: угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}\). Это точка в IV четверти, лежащая на биссектрисе. 2) Точка C: угол \(\alpha = -\frac{3\pi}{2}\). Это точка на положительной полуоси OY (соответствует \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\)). Задание 2. Вычислить радианную меру угла: а) \(32^\circ = 32 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{8\pi}{45}\) рад. б) \(150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}\) рад. Задание 3. Вычислить градусную меру угла: а) \(\frac{\pi}{9} = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ\). б) \(\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Задание 4. Упростить выражение: Используем формулы приведения: \(\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha\) \(tg(-\pi + \alpha) = tg \alpha\) Подставляем: \[ \frac{4 \sin \alpha}{tg \alpha} - \frac{\cos \alpha}{2} = \frac{4 \sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} - \frac{\cos \alpha}{2} = 4 \cos \alpha - 0,5 \cos \alpha = 3,5 \cos \alpha \] Задание 5. Вычислить с использованием теоремы сложения: \[ \sin 315^\circ = \sin(270^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Задание 6. Вычислить: В числителе формула косинуса суммы: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\). В знаменателе формула косинуса двойного угла: \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha\). \[ \frac{\cos 200^\circ \cos 20^\circ + \sin 200^\circ \sin 20^\circ}{\cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ} = \frac{\cos(200^\circ - 20^\circ)}{\cos(2 \cdot 22,5^\circ)} = \frac{\cos 180^\circ}{\cos 45^\circ} = \frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Задание 7. Дано: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{4}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (II четверть). Найти: \(tg \alpha, ctg \alpha, \sin 2\alpha\). 1) Найдем \(\cos \alpha\). Во II четверти косинус отрицательный: \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{4})^2} = -\sqrt{1 - \frac{5}{16}} = -\sqrt{\frac{11}{16}} = -\frac{\sqrt{11}}{4} \] 2) Находим тангенс и котангенс: \[ tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{4} : (-\frac{\sqrt{11}}{4}) = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} = -\frac{\sqrt{55}}{11} \] \[ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = -\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{55}}{5} \] 3) Находим синус двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot (-\frac{\sqrt{11}}{4}) = -\frac{2\sqrt{55}}{16} = -\frac{\sqrt{55}}{8} \]