Решение задач: Закон сохранения механической энергии (Вариант 1)

Ниже представлено решение задач из Варианта № 1 по теме «Закон сохранения механической энергии» в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача № 1 Дано: \(m = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}\) \(h = 4 \text{ м}\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(E_k - ?\) Решение: Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия тела в момент удара о землю равна его потенциальной энергии на начальной высоте: \[E_k = E_p\] Формула потенциальной энергии: \[E_p = mgh\] Подставим значения: \[E_k = 0,4 \cdot 10 \cdot 4 = 16 \text{ Дж}\] Ответ: \(E_k = 16 \text{ Дж}\). Задача № 2 Дано: \(m = 3 \text{ кг}\) \(h_1 = 5 \text{ м}\) \(h_2 = 2 \text{ м}\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(E_k - ?\) Решение: Полная механическая энергия тела на высоте \(h_1\) равна его потенциальной энергии (так как оно падает свободно, начальная скорость равна нулю): \[E = mgh_1\] На высоте \(h_2\) полная энергия складывается из кинетической и потенциальной: \[E = E_k + mgh_2\] Приравняем выражения: \[mgh_1 = E_k + mgh_2\] Отсюда выразим кинетическую энергию: \[E_k = mgh_1 - mgh_2 = mg(h_1 - h_2)\] Вычислим: \[E_k = 3 \cdot 10 \cdot (5 - 2) = 30 \cdot 3 = 90 \text{ Дж}\] Ответ: \(E_k = 90 \text{ Дж}\). Задача № 3 Дано: \(h_0 = 20 \text{ м}\) \(v_0 = 10 \text{ м/с}\) Найти: \(h\), при котором \(E_p = E_k\) Решение: Полная механическая энергия тела в момент броска: \[E = E_{p0} + E_{k0} = mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2}\] На искомой высоте \(h\) полная энергия: \[E = E_p + E_k\] По условию \(E_p = E_k\), значит: \[E = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh\] Приравняем значения полной энергии: \[2mgh = mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2}\] Разделим обе части уравнения на \(m\): \[2gh = gh_0 + \frac{v_0^2}{2}\] Выразим высоту \(h\): \[h = \frac{gh_0 + \frac{v_0^2}{2}}{2g} = \frac{h_0}{2} + \frac{v_0^2}{4g}\] Подставим числа: \[h = \frac{20}{2} + \frac{10^2}{4 \cdot 10} = 10 + \frac{100}{40} = 10 + 2,5 = 12,5 \text{ м}\] Ответ: \(h = 12,5 \text{ м}\).