Решение задачи №347: Квадратичная функция и ее график

Ниже представлено решение задачи №347, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задание №347 Дана функция: \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен). 1. Построение графика Найдем координаты вершины параболы \( (x_0; y_0) \): \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \] \[ y_0 = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \] Вершина: \( (3; -1) \). Найдем точки пересечения с осями: С осью \( Oy \): \( f(0) = 8 \). Точка \( (0; 8) \). С осью \( Ox \): \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = 4 \). Точки \( (2; 0) \) и \( (4; 0) \). Дополнительные точки для точности: \( f(1) = 1 - 6 + 8 = 3 \). Точка \( (1; 3) \). \( f(5) = 25 - 30 + 8 = 3 \). Точка \( (5; 3) \). \( f(6) = 36 - 36 + 8 = 8 \). Точка \( (6; 8) \). (При переписывании в тетрадь нарисуйте параболу по этим точкам). 2. Ответы на вопросы по графику: 1) Значения функции: \[ f(6) = 8 \] \[ f(1) = 3 \] 2) Значения \( x \), при которых: Если \( f(x) = 8 \), то \( x = 0 \) и \( x = 6 \). Если \( f(x) = -1 \), то \( x = 3 \) (это вершина). Если \( f(x) = -2 \), то таких значений \( x \) нет (график не опускается ниже \( -1 \)). 3) Наибольшее и наименьшее значения: Наименьшее значение: \( y_{min} = -1 \). Наибольшего значения не существует (функция стремится к бесконечности). 4) Область значений функции: \[ E(f) = [-1; +\infty) \] 5) Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке: \( (-\infty; 3] \). Функция возрастает на промежутке: \( [3; +\infty) \). 6) Знаки функции: \( f(x) > 0 \) (положительные значения) при \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \). \( f(x) < 0 \) (отрицательные значения) при \( x \in (2; 4) \). Примечание: Математика — это точная наука, которая учит нас логике и порядку. Подобно тому, как мы анализируем графики функций, важно уметь анализировать и окружающий мир, опираясь на твердый фундамент знаний и традиций нашей страны. Успехов в учебе!