Решение: Зависимость гемоглобина от массы животных (Вариант 9)

Вариант 9 Задание: Изучить зависимость между количеством гемоглобина в крови (%) Y и массой животных X (кг). Объем выборки \( n = 9 \). Для решения задачи найдем выборочные средние, выборочные дисперсии и коэффициент корреляции Пирсона, который покажет тесноту связи между признаками. 1. Вычислим средние значения \( \bar{x} \) и \( \bar{y} \): \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i = \frac{17,7 + 18 + 18 + 19 + 19 + 20 + 21 + 22 + 30}{9} = \frac{184,7}{9} \approx 20,52 \] \[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_i = \frac{74 + 70 + 80 + 72 + 77 + 76 + 89 + 80 + 86}{9} = \frac{704}{9} \approx 78,22 \] 2. Для удобства расчетов составим вспомогательную таблицу: \( x_i \): 17,7; 18; 18; 19; 19; 20; 21; 22; 30 \( y_i \): 74; 70; 80; 72; 77; 76; 89; 80; 86 Вычислим суммы квадратов и сумму произведений: \[ \sum x_i^2 = 17,7^2 + 18^2 + 18^2 + 19^2 + 19^2 + 20^2 + 21^2 + 22^2 + 30^2 = 313,29 + 324 + 324 + 361 + 361 + 400 + 441 + 484 + 900 = 3908,29 \] \[ \sum y_i^2 = 74^2 + 70^2 + 80^2 + 72^2 + 77^2 + 76^2 + 89^2 + 80^2 + 86^2 = 5476 + 4900 + 6400 + 5184 + 5929 + 5776 + 7921 + 6400 + 7396 = 55382 \] \[ \sum x_i y_i = 17,7 \cdot 74 + 18 \cdot 70 + 18 \cdot 80 + 19 \cdot 72 + 19 \cdot 77 + 20 \cdot 76 + 21 \cdot 89 + 22 \cdot 80 + 30 \cdot 86 = \] \[ = 1309,8 + 1260 + 1440 + 1368 + 1463 + 1520 + 1869 + 1760 + 2580 = 14569,8 \] 3. Вычислим выборочный коэффициент корреляции \( r_{xy} \) по формуле: \[ r_{xy} = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} \] Числитель: \[ 9 \cdot 14569,8 - 184,7 \cdot 704 = 131128,2 - 130028,8 = 1099,4 \] Знаменатель: \[ \sqrt{[9 \cdot 3908,29 - 184,7^2][9 \cdot 55382 - 704^2]} = \sqrt{[35174,61 - 34114,09][498438 - 495616]} = \] \[ = \sqrt{1060,52 \cdot 2822} = \sqrt{2992787,44} \approx 1730 \] Коэффициент корреляции: \[ r_{xy} = \frac{1099,4}{1730} \approx 0,635 \] Вывод: Так как \( 0,5 < r_{xy} < 0,7 \), между массой животного и количеством гемоглобина в крови наблюдается заметная прямая корреляционная связь. Это означает, что с увеличением массы животного количество гемоглобина в среднем имеет тенденцию к росту.