Решение задачи №17: Наибольшее произведение кратное 6

Задача №17 Решение: Пусть исходное четырёхзначное число состоит из цифр \(a, b, c, d\). По условию все цифры различны и не равны нулю. Оля заменила одну из цифр знаком умножения. Это значит, что она могла получить произведение следующими способами: 1) \(a \cdot \overline{bcd}\) 2) \(\overline{ab} \cdot \overline{cd}\) 3) \(\overline{abc} \cdot d\) Нам нужно найти наибольшее возможное произведение, которое кратно 6. Число кратно 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно. Чтобы произведение было максимальным, логично рассмотреть вариант \(\overline{abc} \cdot d\), где трёхзначное число начинается с максимально возможных цифр. Попробуем использовать самые большие цифры: 9, 8, 7, 6. Если число было 9876, и Оля заменила 6-ку: \[ 987 \cdot 6 \] Проверим кратность 6: число 6 делится на 6, значит и произведение делится на 6. Вычислим: \[ 987 \cdot 6 = 5922 \] Попробуем заменить другую цифру в этом же наборе, например 7: \[ 98 \cdot 76 = 7448 \] (не делится на 3, так как \(7+4+4+8=23\)) Или заменим 9: \[ 9 \cdot 876 = 7884 \] Число 7884 больше, чем 5922. Проверим его на кратность 6: Оно чётное (оканчивается на 4). Сумма цифр: \(7 + 8 + 8 + 4 = 27\). 27 делится на 3, значит число делится на 3. Следовательно, 7884 кратно 6. Попробуем еще увеличить результат, используя цифры 9, 8, 7, 5. Если Оля получила \(9 \cdot 875 = 7875\) (нечётно, не подходит). Если Оля получила \(987 \cdot 5 = 4935\) (нечётно, не подходит). Если Оля получила \(98 \cdot 75 = 7350\). Это число меньше 7884. Рассмотрим вариант \(a \cdot \overline{bcd}\) с цифрами 9, 8, 7, 6 еще раз. Мы получили 7884. Может ли быть больше? Если взять цифры 9, 8, 7, 4: \[ 9 \cdot 874 = 7866 \] (кратно 6, так как чётное и сумма цифр \(7+8+6+6=27\)). Но 7866 < 7884. Проверим вариант \(\overline{ab} \cdot \overline{cd}\) для цифр 9, 8, 7, 6: \[ 98 \cdot 76 = 7448 \] \[ 97 \cdot 86 = 8342 \] (сумма цифр \(8+3+4+2=17\), не делится на 3) \[ 96 \cdot 87 = 8352 \] Проверим 8352: 1) Оканчивается на 2 — чётное. 2) Сумма цифр: \(8 + 3 + 5 + 2 = 18\). Делится на 3. Значит, 8352 кратно 6. Это число больше, чем 7884. Попробуем найти еще больше. Возьмем цифры 9, 8, 7, 6 и вариант \(96 \cdot 87\). Если взять цифры 9, 8, 7, 5: \[ 95 \cdot 87 = 8265 \] (нечётно) \[ 97 \cdot 85 = 8245 \] (нечётно) \[ 85 \cdot 97 = 8245 \] Если взять цифры 9, 8, 6, 5: \[ 96 \cdot 85 = 8160 \] (меньше 8352) Если взять цифры 9, 7, 8, 6 и произведение \(98 \cdot 76 = 7448\) (уже проверяли). Проверим \(86 \cdot 97 = 8342\) (не делится на 3). Проверим \(87 \cdot 96 = 8352\). Наибольшее произведение получается при перемножении двух двузначных чисел, составленных из самых крупных цифр, при условии, что одно из них или их произведение дает кратность 6. Число 8352 получается из цифр 9, 6, 8, 7 (исходное число могло быть, например, 9687). Ответ: 8352