Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Задание 3.6

Задание 3.6. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода: \[ I = \int_{AB} (3x + 5) dx + (y + x) dy \] где \( AB \) — дуга параболы \( y = x^2 \) от точки \( A(1; 1) \) до точки \( B(2; 4) \). Решение: 1. Перейдем к одной переменной \( x \). По условию \( y = x^2 \). Найдем дифференциал \( dy \): \[ dy = (x^2)' dx = 2x dx \] 2. Определим пределы интегрирования по переменной \( x \). Так как мы движемся от точки \( A(1; 1) \) к точке \( B(2; 4) \), то \( x \) изменяется от \( 1 \) до \( 2 \). 3. Подставим выражения для \( y \) и \( dy \) в исходный интеграл: \[ I = \int_{1}^{2} \left( (3x + 5) + (x^2 + x) \cdot 2x \right) dx \] 4. Упростим подынтегральное выражение: \[ (3x + 5) + (x^2 + x) \cdot 2x = 3x + 5 + 2x^3 + 2x^2 = 2x^3 + 2x^2 + 3x + 5 \] 5. Вычислим определенный интеграл: \[ I = \int_{1}^{2} (2x^3 + 2x^2 + 3x + 5) dx \] \[ I = \left[ 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x \right]_{1}^{2} \] \[ I = \left[ \frac{x^4}{2} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x \right]_{1}^{2} \] 6. Подставим верхний и нижний пределы: Для \( x = 2 \): \[ \frac{2^4}{2} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 5 \cdot 2 = \frac{16}{2} + \frac{16}{3} + \frac{12}{2} + 10 = 8 + 5\frac{1}{3} + 6 + 10 = 29\frac{1}{3} \] Для \( x = 1 \): \[ \frac{1^4}{2} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 5 \cdot 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 5 = 0,5 + 0,666... + 1,5 + 5 = 7 + \frac{2}{3} = 7\frac{2}{3} \] 7. Найдем разность: \[ I = 29\frac{1}{3} - 7\frac{2}{3} = 28\frac{4}{3} - 7\frac{2}{3} = 21\frac{2}{3} \] Или в виде неправильной дроби: \[ I = \frac{88}{3} - \frac{23}{3} = \frac{65}{3} \] Ответ: \( \frac{65}{3} \) или \( 21\frac{2}{3} \).