Решение задачи: Правильные многоугольники, 9 класс

Контрольная работа по теме: Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. 9 класс. Вариант 1. Задача 1. Найдите углы правильного сорокаугольника. Решение: Сумма углов правильного \(n\)-угольника вычисляется по формуле: \[S = 180^\circ \cdot (n - 2)\] Для сорокаугольника \(n = 40\). Тогда сумма всех углов: \[S = 180^\circ \cdot (40 - 2) = 180^\circ \cdot 38 = 6840^\circ\] Так как многоугольник правильный, все его углы равны. Величина одного угла \(\alpha\) равна: \[\alpha = \frac{S}{n} = \frac{6840^\circ}{40} = 171^\circ\] Ответ: \(171^\circ\). Задача 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. Решение: Пусть \(a = 12\) см — сторона правильного треугольника. Радиус \(r\) вписанной в него окружности находится по формуле: \[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\] Подставим значение: \[r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}\] Длина окружности \(C\) вычисляется по формуле: \[C = 2\pi r\] \[C = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3} \text{ см}\] Ответ: \(4\pi\sqrt{3}\) см. Задача 3. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна \(5\sqrt{3}\) см. Решение: Пусть \(a = 5\sqrt{3}\) см. Радиус \(R\) описанной около правильного треугольника окружности равен: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\] \[R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \text{ см}\] 1) Длина окружности \(C\): \[C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ см}\] 2) Площадь круга \(S\): \[S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2\] Ответ: \(10\pi\) см; \(25\pi\) см\(^2\). Задача 4. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна \(120^\circ\). Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? Решение: Дано: \(R = 4\) см, \(\alpha = 120^\circ\). 1) Длина дуги \(l\): \[l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 2}{3} = \frac{8\pi}{3} \text{ см}\] 2) Площадь сектора \(S\): \[S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{16\pi}{3} \text{ см}^2\] Ответ: \(\frac{8\pi}{3}\) см; \(\frac{16\pi}{3}\) см\(^2\). Задача 5. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен \(6\sqrt{3}\) дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Решение: 1) Найдем сторону треугольника \(a_3\): \[a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}\] 2) Радиус \(R\) окружности, в которую вписан треугольник: \[R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ дм}\] 3) Эта же окружность является вписанной для правильного шестиугольника. Значит, радиус вписанной окружности шестиугольника \(r_6 = R = 2\) дм. 4) Сторона описанного шестиугольника \(a_6\) выражается через радиус вписанной окружности: \[a_6 = \frac{2r_6}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ дм}\] 5) Периметр шестиугольника \(P_6\): \[P_6 = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ дм}\] Ответ: \(8\sqrt{3}\) дм.