Решение:

Задание 4.6. Исследовать на сходимость ряды. а) \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+2}{3n+1} \right)^n \] Решение: Для исследования данного ряда воспользуемся радикальным признаком Коши. Общий член ряда имеет вид: \[ a_n = \left( \frac{n+2}{3n+1} \right)^n \] Вычислим предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+2}{3n+1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{3n+1} \] Разделим числитель и знаменатель на \( n \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{3 + 0} = \frac{1}{3} \] Так как \( L = \frac{1}{3} < 1 \), то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд сходится. б) \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \cdot \ln n} \] (Примечание: суммирование должно начинаться с \( n=2 \), так как при \( n=1 \) выражение \( \ln 1 = 0 \) приводит к делению на ноль). Решение: Данный ряд является знакочередующимся. Для исследования на сходимость воспользуемся признаком Лейбница. Рассмотрим последовательность абсолютных величин членов ряда: \[ b_n = |a_n| = \frac{1}{n \ln n} \] 1. Проверим выполнение условий признака Лейбница: - Последовательность \( b_n \) является монотонно убывающей, так как знаменатель \( n \ln n \) растет с увеличением \( n \). - Предел общего члена: \[ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n} = 0 \] Оба условия выполнены, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. 2. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \] Применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{x \ln x} \): \[ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{2}^{\infty} \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \left[ \ln(\ln x) \right]_{2}^{\infty} = \lim_{A \to \infty} \ln(\ln A) - \ln(\ln 2) = \infty \] Так как интеграл расходится, то ряд из модулей расходится. Вывод: так как сам ряд сходится, а ряд из его модулей расходится, то данный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.