Решение: Площадь криволинейной трапеции через определенный интеграл

На изображении представлены задания по теме вычисления площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла. Судя по записям, требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \), осью \( Ox \) (\( y=0 \)) и вертикальными прямыми. Ниже приведено решение для двух вариантов, представленных в верхней части доски, и для задачи в нижней части. I вариант (левый верхний угол) Дано: \[ f(x) = x^2 \] \[ y = 0, x = 1, x = 2 \] Решение: Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \] \[ S = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 \] \[ S = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \] Ответ: \( 2\frac{1}{3} \) кв. ед. II вариант (правый верхний угол) Дано: \[ f(x) = x^2 \] \[ y = 0, x = 2, x = 3 \] Решение: \[ S = \int_{2}^{3} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^3 \] \[ S = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \] Ответ: \( 6\frac{1}{3} \) кв. ед. Нижнее задание (объединенное) Дано: \[ f(x) = x^2 + 2 \] \[ y = 0, x = -1, x = 2 \] Решение: \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-1}^{2} \] Подставим верхний предел: \[ \left( \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \right) = \frac{8}{3} + 4 = 2\frac{2}{3} + 4 = 6\frac{2}{3} \] Подставим нижний предел: \[ \left( \frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1) \right) = -\frac{1}{3} - 2 = -2\frac{1}{3} \] Вычтем результаты: \[ S = 6\frac{2}{3} - (-2\frac{1}{3}) = 6\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 9 \] Ответ: \( 9 \) кв. ед.