Решение задачи №351231 ОГЭ по математике

Ниже представлено решение задач из вашего варианта ОГЭ по математике, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 (Тип 15 № 351231) Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AB = CD\), \(AC = AD\), \(\angle ABC = 113^\circ\). Найти: \(\angle CAD\). Решение: 1) Так как трапеция равнобедренная (\(AB = CD\)), углы при основании равны: \(\angle BCD = \angle ABC = 113^\circ\). 2) Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle ADC = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ\). 3) В треугольнике \(ACD\) стороны \(AC = AD\), следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: \(\angle ACD = \angle ADC = 67^\circ\). 4) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). \[ \angle CAD = 180^\circ - (\angle ACD + \angle ADC) = 180^\circ - (67^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \] Ответ: 46. Задача 2 (Тип 15 № 351478) Дано: \(MD\) — биссектриса \(\angle CMB\), \(\angle DMC = 81^\circ\). Найти: \(\angle CMA\). Решение: 1) Так как \(MD\) — биссектриса, то \(\angle DMB = \angle DMC = 81^\circ\). 2) Тогда \(\angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 81^\circ + 81^\circ = 162^\circ\). 3) Углы \(\angle CMA\) и \(\angle CMB\) — смежные, их сумма равна \(180^\circ\). \[ \angle CMA = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ \] Ответ: 18. Задача 3 (Тип 16 № 350531) Дано: \(AC\) и \(BD\) — диаметры, \(\angle AOD = 74^\circ\). Найти: \(\angle ACB\). Решение: 1) Углы \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) вертикальные, значит \(\angle BOC = \angle AOD = 74^\circ\). 2) В треугольнике \(BOC\) стороны \(OB = OC\) (как радиусы), значит он равнобедренный. 3) Углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB\). \[ \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - 74^\circ}{2} = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ \] Ответ: 53. Задача 4 (Тип 16 № 355412) Дано: \(r = 16\). Найти: \(h\) (высоту трапеции). Решение: Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. \[ h = 2r = 2 \cdot 16 = 32 \] Ответ: 32. Задача 5 (Тип 17 № 333119) Дано: Квадрат со стороной 8, вырезан прямоугольник со сторонами 6 и 1. Найти: Площадь оставшейся фигуры. Решение: 1) Площадь квадрата: \(S_1 = 8 \cdot 8 = 64\). 2) Площадь вырезанного прямоугольника: \(S_2 = 6 \cdot 1 = 6\). 3) Площадь фигуры: \(S = S_1 - S_2 = 64 - 6 = 58\). Ответ: 58. Задача 6 (Тип 17 № 341380) Дано: Прямоугольный треугольник, катет \(a = 12\), гипотенуза \(c = 13\). Найти: Площадь \(S\). Решение: 1) Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \] 2) Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \] Ответ: 30. Задача 7 (Тип 18 № 250971) Найти: Длину большей диагонали ромба на клетчатой бумаге. Решение: Считаем клетки по вертикали и горизонтали между вершинами. Горизонтальная диагональ занимает 10 клеток, вертикальная — 6 клеток. Большая диагональ равна 10. Ответ: 10. Задача 8 (Тип 18 № 462096) Найти: Во сколько раз площадь большого круга больше площади меньшего. Решение: 1) Радиус малого круга \(r = 1\) клетка. Радиус большого круга \(R = 3\) клетки. 2) Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. \[ \frac{S_{бол}}{S_{мал}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{3^2}{1^2} = 9 \] Ответ: 9. Задача 9 (Тип 19 № 404189) Какие из следующих утверждений верны? 1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. (Неверно, \(c < a + b\)) 2) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. (Неверно, могут быть оба по \(90^\circ\)) 3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. (Верно) Ответ: 3. Задача 10 (Тип 19 № 341354) Какие из следующих утверждений верны? 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Неверно, нужен еще угол между ними) 2) Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. (Верно) 3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Верно, это неравенство треугольника) Ответ: 23.