Решение задачи: Угол AOB

Решение задач из контрольной работы. Задача 1. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Угол CAB равен 32 градуса. Найдите угол AOB. Решение: 1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, \( \angle OAC = 90^\circ \). 2) По условию \( \angle CAB = 32^\circ \). Тогда \( \angle OAB = \angle OAC - \angle CAB = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \). 3) Треугольник AOB — равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы). Значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 58^\circ \). 4) Сумма углов треугольника равна 180 градусов. \[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ \] Ответ: 64. Задача 2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 градусов, угол ABD равен 70 градусов. Найдите угол CAD. Решение: 1) Углы CAD и CBD являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу CD. Следовательно, \( \angle CAD = \angle CBD \). 2) Угол ABC состоит из суммы углов ABD и CBD: \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \] 3) Отсюда находим угол CBD: \[ \angle CBD = \angle ABC - \angle ABD = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ \] 4) Так как \( \angle CAD = \angle CBD \), то \( \angle CAD = 40^\circ \). Ответ: 40. Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH — высота, BC = 8, BH = 4. Найдите sin A. Решение: 1) В прямоугольном треугольнике BHC: \( \cos B = \frac{BH}{BC} = \frac{4}{8} = 0,5 \). 2) Так как \( \cos B = 0,5 \), то \( \angle B = 60^\circ \). 3) В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90 градусов: \[ \angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] 4) Находим \( \sin A \): \[ \sin 30^\circ = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задача 5. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба. Решение: 1) Объем параллелепипеда равен произведению его измерений: \[ V_p = 4 \cdot 6 \cdot 9 = 216 \] 2) Объемы равновеликих тел равны. Объем куба со стороной \( a \) равен \( V_k = a^3 \). 3) Приравниваем объемы: \[ a^3 = 216 \] \[ a = \sqrt[3]{216} = 6 \] Ответ: 6. Задача 6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: 1) Найдем количество спортсменок из Китая: \[ 20 - (8 + 7) = 20 - 15 = 5 \] 2) Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: \[ P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: 0,25. Задача 8. Найдите корень уравнения \( \cos \frac{\pi(2x + 9)}{3} = \frac{1}{2} \). В ответе запишите наибольший отрицательный корень. Решение: 1) Решим уравнение: \[ \frac{\pi(2x + 9)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z \] 2) Разделим на \( \pi \) и умножим на 3: \[ 2x + 9 = \pm 1 + 6k \] 3) Рассмотрим два случая: а) \( 2x + 9 = 1 + 6k \Rightarrow 2x = 6k - 8 \Rightarrow x = 3k - 4 \) При \( k = 1 \), \( x = -1 \). б) \( 2x + 9 = -1 + 6k \Rightarrow 2x = 6k - 10 \Rightarrow x = 3k - 5 \) При \( k = 1 \), \( x = -2 \). 4) Наибольший отрицательный корень равен -1. Ответ: -1. Задача 9. Найдите \( \text{tg } \alpha \), если \( \frac{3\sin \alpha + 5\cos \alpha + 1}{2\sin \alpha + \cos \alpha + 4} = \frac{1}{4} \). Решение: 1) Используем свойство пропорции: \[ 4(3\sin \alpha + 5\cos \alpha + 1) = 2\sin \alpha + \cos \alpha + 4 \] \[ 12\sin \alpha + 20\cos \alpha + 4 = 2\sin \alpha + \cos \alpha + 4 \] 2) Перенесем слагаемые: \[ 10\sin \alpha = -19\cos \alpha \] 3) Разделим обе части на \( 10\cos \alpha \): \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{19}{10} \] \[ \text{tg } \alpha = -1,9 \] Ответ: -1,9.