Решение: Область сходимости степенного ряда ∑ n²(x+2)^n / 2^(3n)

Задание 5.6. Найти область сходимости степенного ряда: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 \cdot (x+2)^n}{2^{3n}} \] Решение: 1. Данный ряд является степенным рядом вида \( \sum a_n (x - x_0)^n \), где \( x_0 = -2 \). Коэффициент ряда: \[ a_n = \frac{n^2}{2^{3n}} = \frac{n^2}{8^n} \] 2. Найдем радиус сходимости \( R \), используя признак Даламбера: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] \[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{8^{n+1}} \] \[ R = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{8^n} \cdot \frac{8^{n+1}}{(n+1)^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{8^n \cdot 8}{8^n} \right) \] \[ R = 8 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = 8 \cdot 1^2 = 8 \] 3. Интервал сходимости определяется неравенством \( |x - x_0| < R \): \[ |x + 2| < 8 \] \[ -8 < x + 2 < 8 \] \[ -10 < x < 6 \] 4. Исследуем сходимость на концах интервала: При \( x = 6 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 \cdot (6+2)^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 \cdot 8^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \] Этот ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости (\( \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty \neq 0 \)). При \( x = -10 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 \cdot (-10+2)^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 \cdot (-8)^n}{8^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^2 \] Этот ряд также расходится, так как предел общего члена не равен нулю. 5. Таким образом, областью сходимости является интервал \( (-10; 6) \). Ответ: \( x \in (-10; 6) \).