Решение задачи: Найти стационарные точки и экстремумы функции

Вариант 2. Задание 1. Найти стационарные точки функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \). Решение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. 1) Найдем производную: \[ f'(x) = (x^3 - x^2 - x + 2)' = 3x^2 - 2x - 1 \] 2) Приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] 3) Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \] Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -\frac{1}{3} \). Задание 2. Найти экстремумы функции. 1) \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \) Используем точки из задания 1. Определим знаки производной на интервалах: При \( x < -1/3 \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает). При \( -1/3 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (функция убывает). При \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает). Точка максимума: \( x = -1/3 \). Значение: \( f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = \frac{-1-3+9+54}{27} = \frac{59}{27} = 2\frac{5}{27} \). Точка минимума: \( x = 1 \). Значение: \( f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 \). 2) \( f(x) = (5 - 4x)e^x \) Найдем производную: \[ f'(x) = (5 - 4x)' e^x + (5 - 4x) (e^x)' = -4e^x + (5 - 4x)e^x = e^x(5 - 4x - 4) = e^x(1 - 4x) \] Приравняем к нулю: \( e^x(1 - 4x) = 0 \). Так как \( e^x > 0 \), то \( 1 - 4x = 0 \), откуда \( x = 0,25 \). При \( x < 0,25 \), \( f'(x) > 0 \); при \( x > 0,25 \), \( f'(x) < 0 \). Это точка максимума. \( f(0,25) = (5 - 1)e^{0,25} = 4e^{0,25} \). Задание 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \). Решение: На основе знаков производной из задания 2: Функция возрастает на интервалах: \( (-\infty; -1/3] \) и \( [1; +\infty) \). Функция убывает на интервале: \( [-1/3; 1] \). Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \) на отрезке \( [-1; 3/2] \). Решение: Вычислим значения функции в стационарных точках, попавших в отрезок (\( -1/3 \) и \( 1 \)), и на концах отрезка: 1) \( f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1 \) 2) \( f(-1/3) = 2\frac{5}{27} \approx 2,18 \) 3) \( f(1) = 1 \) 4) \( f(1,5) = (1,5)^3 - (1,5)^2 - 1,5 + 2 = 3,375 - 2,25 - 1,5 + 2 = 1,625 \) Наибольшее значение: \( f_{max} = 2\frac{5}{27} \). Наименьшее значение: \( f_{min} = 1 \). Задание 6. Найти ромб с наибольшей площадью, если сумма длин его диагоналей равна 10. Решение: Пусть диагонали ромба \( d_1 \) и \( d_2 \). По условию \( d_1 + d_2 = 10 \), значит \( d_2 = 10 - d_1 \). Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \). Подставим выражение: \( S(d_1) = \frac{1}{2} d_1 (10 - d_1) = 5d_1 - 0,5d_1^2 \). Найдем максимум функции, взяв производную: \[ S'(d_1) = 5 - d_1 \] Приравняем к нулю: \( 5 - d_1 = 0 \Rightarrow d_1 = 5 \). Тогда \( d_2 = 10 - 5 = 5 \). Если диагонали равны, то этот ромб — квадрат. Ответ: Диагонали должны быть равны 5 и 5.