Решение задачи №998: Доказательство ромба и вычисление площади

Решение задачи №998 Дано: \(A(-2; -3)\), \(B(1; 4)\), \(C(8; 7)\), \(D(5; 0)\). Доказать: \(ABCD\) — ромб. Найти: \(S_{ABCD}\). Доказательство: 1. Найдем координаты векторов сторон четырехугольника: \[ \vec{AB} = \{1 - (-2); 4 - (-3)\} = \{3; 7\} \] \[ \vec{BC} = \{8 - 1; 7 - 4\} = \{7; 3\} \] \[ \vec{CD} = \{5 - 8; 0 - 7\} = \{-3; -7\} \] \[ \vec{DA} = \{-2 - 5; -3 - 0\} = \{-7; -3\} \] 2. Найдем длины сторон (модули векторов): \[ AB = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \] \[ BC = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \] \[ CD = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \] \[ DA = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \] Так как все стороны равны (\(AB = BC = CD = DA\)), то по определению \(ABCD\) — ромб. Что и требовалось доказать. 3. Найдем площадь ромба через его диагонали. Координаты векторов диагоналей: \[ \vec{AC} = \{8 - (-2); 7 - (-3)\} = \{10; 10\} \] \[ \vec{BD} = \{5 - 1; 0 - 4\} = \{4; -4\} \] Длины диагоналей: \[ d_1 = AC = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] \[ d_2 = BD = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Площадь ромба: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 2 = 40 \] Ответ: площадь ромба равна 40. --- Решение задачи №990 Дано: \(\vec{a}\{3; 4\}\), \(\vec{b}\{6; -8\}\), \(\vec{c}\{1; 5\}\). а) Найдем координаты векторов: 1. \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\) \[ \vec{p} = \{3 + 6; 4 + (-8)\} = \{9; -4\} \] 2. \(\vec{q} = \vec{b} + \vec{c}\) \[ \vec{q} = \{6 + 1; -8 + 5\} = \{7; -3\} \] 3. \(\vec{r} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) \[ \vec{r} = \{2 \cdot 3 - 6 + 1; 2 \cdot 4 - (-8) + 5\} = \{6 - 6 + 1; 8 + 8 + 5\} = \{1; 21\} \] 4. \(\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) \[ \vec{s} = \{3 - 6 - 1; 4 - (-8) - 5\} = \{-4; 7\} \] б) Найдем длины векторов: 1. \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) 2. \(|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) 3. \(|\vec{p}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}\) 4. \(|\vec{q}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\) Ответ: а) \(\vec{p}\{9; -4\}\), \(\vec{q}\{7; -3\}\), \(\vec{r}\{1; 21\}\), \(\vec{s}\{-4; 7\}\); б) \(|\vec{a}|=5\), \(|\vec{b}|=10\), \(|\vec{p}|=\sqrt{97}\), \(|\vec{q}|=\sqrt{58}\).