Решение задачи №990: Векторы

Решение задачи №990 Дано: \( \vec{a} \{3; 4\} \), \( \vec{b} \{6; -8\} \), \( \vec{c} \{1; 5\} \). а) Найдем координаты векторов: 1. Находим координаты вектора \( \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} \): \[ \vec{p} = \{3 + 6; 4 + (-8)\} = \{9; -4\} \] 2. Находим координаты вектора \( \vec{q} = \vec{b} + \vec{c} \): \[ \vec{q} = \{6 + 1; -8 + 5\} = \{7; -3\} \] 3. Находим координаты вектора \( \vec{r} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} \): Сначала найдем \( 2\vec{a} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot 4\} = \{6; 8\} \). Затем вычислим \( \vec{r} \): \[ \vec{r} = \{6 - 6 + 1; 8 - (-8) + 5\} = \{1; 8 + 8 + 5\} = \{1; 21\} \] 4. Находим координаты вектора \( \vec{s} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} \): \[ \vec{s} = \{3 - 6 - 1; 4 - (-8) - 5\} = \{-4; 12 - 5\} = \{-4; 7\} \] б) Найдем длины (модули) векторов: Длина вектора \( \vec{v}\{x; y\} \) вычисляется по формуле: \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \). 1. Длина вектора \( \vec{a} \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Длина вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] 3. Длина вектора \( \vec{p} \): \[ |\vec{p}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \] 4. Длина вектора \( \vec{q} \): \[ |\vec{q}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \] Ответ: а) \( \vec{p}\{9; -4\} \), \( \vec{q}\{7; -3\} \), \( \vec{r}\{1; 21\} \), \( \vec{s}\{-4; 7\} \); б) \( |\vec{a}| = 5 \), \( |\vec{b}| = 10 \), \( |\vec{p}| = \sqrt{97} \), \( |\vec{q}| = \sqrt{58} \).