Решения школьных задач для тетради

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задание 1. Точка \(B(1; 5)\) имеет положительную абсциссу (\(x = 1 > 0\)) и положительную ординату (\(y = 5 > 0\)). Ответ: I четверть. Задание 2. Уравнение окружности с центром в точке \(O(x_0; y_0)\) и радиусом \(r\) имеет вид: \[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\] Подставим \(O(0; 0)\) и \(r = 5\): \[x^2 + y^2 = 5^2\] \[x^2 + y^2 = 25\] Ответ: \(x^2 + y^2 = 25\). Задание 3. Дано уравнение: \((x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 16\). Центр окружности: \(O(4; -2)\). Радиус: \(r = \sqrt{16} = 4\). Для построения в тетради: отметьте точку \((4; -2)\) и проведите окружность радиусом 4 клетки (или см). Задание 4. Уравнение прямой: \(x + y - 6 = 0\). 1) С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(x + 0 - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\). Точка \((6; 0)\). 2) С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(0 + y - 6 = 0 \Rightarrow y = 6\). Точка \((0; 6)\). Ответ: \((6; 0)\) и \((0; 6)\). Задание 5. Прямая проходит через \(O(0; 0)\) и \(A(-2; 4)\). Уравнение имеет вид \(y = kx\). Подставим координаты точки \(A\): \(4 = k \cdot (-2) \Rightarrow k = -2\). Уравнение прямой: \(y = -2x\). Ответ: \(y = -2x\). Задание 6. 1) Из уравнения \(x^2 + (y - 3)^2 = 9\) центр окружности \(O(0; 3)\). 2) Уравнение прямой через точки \((6; 5)\) и \((0; 3)\): \[\frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - 3}{5 - 3}\] \[\frac{x}{6} = \frac{y - 3}{2}\] \(2x = 6(y - 3) \Rightarrow 2x = 6y - 18 \Rightarrow x - 3y + 9 = 0\). Ответ: \(x - 3y + 9 = 0\) (или \(y = \frac{1}{3}x + 3\)). Задание 7. 1) Найдем координаты точки \(M\) — середины \(BC\), где \(B(-4; 3)\), \(C(0; 6)\): \(x_M = \frac{-4 + 0}{2} = -2\); \(y_M = \frac{3 + 6}{2} = 4,5\). Точка \(M(-2; 4,5)\). 2) Уравнение прямой \(AM\) через \(A(-4; -2)\) и \(M(-2; 4,5)\): \[\frac{x - (-4)}{-2 - (-4)} = \frac{y - (-2)}{4,5 - (-2)}\] \[\frac{x + 4}{2} = \frac{y + 2}{6,5}\] \(6,5(x + 4) = 2(y + 2) \Rightarrow 6,5x + 26 = 2y + 4 \Rightarrow 6,5x - 2y + 22 = 0\). Умножим на 2 для целых коэффициентов: \(13x - 4y + 44 = 0\). Ответ: \(13x - 4y + 44 = 0\). Задание 8. 1) Окружность \(x^2 + y^2 = 25\). Точка \(K\) на положительной полуоси \(Ox\): \(y = 0, x > 0\). \(x^2 + 0 = 25 \Rightarrow x = 5\). Точка \(K(5; 0)\). 2) Точка \(P\) на окружности, \(x = -3\): \((-3)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow 9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4\). Возьмем \(P(-3; 4)\). 3) Площадь \(\triangle OKP\), где \(O(0; 0), K(5; 0), P(-3; 4)\): Основание \(OK = 5\). Высота треугольника равна ординате точки \(P\), т.е. \(h = |y_P| = 4\). \[S = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10\] Ответ: 10.