Задача: Вероятность выбора неисправных телевизоров

Задание 6.6. В мастерскую для ремонта поступило 10 телевизоров, из которых 3 нуждаются в общем ремонте. Мастер берет первые попавшиеся 5 штук. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общем ремонте? Решение: Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: \[ P(A) = \frac{m}{n} \] где \( n \) — общее число возможных исходов, а \( m \) — число исходов, благоприятствующих событию \( A \). 1. Вычислим общее число способов выбрать 5 телевизоров из 10. Это число сочетаний из 10 по 5: \[ n = C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 252 \] 2. Теперь найдем число благоприятных исходов \( m \). Нам нужно, чтобы из 5 выбранных телевизоров ровно 2 нуждались в ремонте. Это значит, что: - 2 телевизора должны быть выбраны из 3 нуждающихся в ремонте: \( C_{3}^{2} \) способами. - Остальные \( 5 - 2 = 3 \) телевизора должны быть выбраны из \( 10 - 3 = 7 \) исправных (не нуждающихся в общем ремонте): \( C_{7}^{3} \) способами. 3. Вычислим эти значения: \[ C_{3}^{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 \] \[ C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \] 4. По правилу произведения находим общее число благоприятных исходов: \[ m = C_{3}^{2} \cdot C_{7}^{3} = 3 \cdot 35 = 105 \] 5. Находим искомую вероятность: \[ P(A) = \frac{105}{252} \] Сократим дробь на 21: \[ P(A) = \frac{105 : 21}{252 : 21} = \frac{5}{12} \] В десятичном виде (приблизительно): \[ P(A) \approx 0,4167 \] Ответ: \( \frac{5}{12} \).