Решение задачи: Правильный треугольник и описанный квадрат

Дано: Периметр правильного треугольника \( P_{3} = 30\sqrt{3} \) см. Квадрат описан около этой же окружности. Найти: Радиус окружности \( R \) — ? Периметр квадрата \( P_{4} \) — ? Решение: 1. Найдем сторону правильного треугольника \( a_{3} \). Так как у правильного треугольника все три стороны равны: \[ a_{3} = \frac{P_{3}}{3} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \text{ см} \] 2. Найдем радиус окружности \( R \). Для правильного треугольника, вписанного в окружность, сторона связана с радиусом формулой: \[ a_{3} = R\sqrt{3} \] Подставим значение стороны: \[ 10\sqrt{3} = R\sqrt{3} \] Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \[ R = 10 \text{ см} \] 3. Найдем сторону квадрата \( a_{4} \). Квадрат описан около окружности, значит, радиус этой окружности является радиусом вписанной в квадрат окружности \( r \). Сторона описанного квадрата равна диаметру этой окружности: \[ a_{4} = 2R \] \[ a_{4} = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см} \] 4. Найдем периметр квадрата \( P_{4} \). \[ P_{4} = 4 \cdot a_{4} \] \[ P_{4} = 4 \cdot 20 = 80 \text{ см} \] Ответ: Радиус окружности: 10 см. Периметр квадрата: 80 см.