Решение задач: параллелепипед и куб

Задача 1. Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями \(a = 6\) см, \(b = 9\) см, \(c = 15\) см. Куб равновелик параллелепипеду. Найти: ребро куба \(x\). Решение: 1. Равновеликие тела имеют равные объемы. Вычислим объем параллелепипеда: \[V_p = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 9 \cdot 15 = 810 \text{ см}^3\] 2. Объем куба вычисляется по формуле \(V_k = x^3\). Так как \(V_k = V_p\), имеем: \[x^3 = 810\] \[x = \sqrt[3]{810} = \sqrt[3]{27 \cdot 30} = 3\sqrt[3]{30} \text{ см}\] Ответ: \(3\sqrt[3]{30}\) см. Задача 2. Дано: диагональ куба \(D = 18\) см. Найти: объем куба \(V\). Решение: 1. Диагональ куба связана с его ребром \(a\) формулой \(D = a\sqrt{3}\). Отсюда: \[a = \frac{D}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}\] 2. Объем куба: \[V = a^3 = (6\sqrt{3})^3 = 216 \cdot 3\sqrt{3} = 648\sqrt{3} \text{ см}^3\] Ответ: \(648\sqrt{3} \text{ см}^3\). Задача 3. Дано: ребра трех кубов \(a_1 = 7\) см, \(a_2 = 9\) см, \(a_3 = 10\) см. Найти: ребро нового куба \(A\). Решение: 1. Суммарный объем трех кубов равен объему нового куба: \[V = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 = 7^3 + 9^3 + 10^3 = 343 + 729 + 1000 = 2072 \text{ см}^3\] 2. Ребро нового куба: \[A = \sqrt[3]{2072} \text{ см}\] Ответ: \(\sqrt[3]{2072}\) см. Задача 4. Дано: прямой параллелепипед, \(a = 21\) см, \(b = 8\) см, угол между ними \(\gamma = 60^\circ\). Меньшая диагональ параллелепипеда \(D = 15\) см, угол наклона к основанию \(\alpha = 30^\circ\). Найти: объем \(V\). Решение: 1. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда, его высотой \(H\) и диагональю основания \(d\): \[H = D \cdot \sin(30^\circ) = 15 \cdot 0,5 = 7,5 \text{ см}\] 2. Площадь основания (параллелограмма): \[S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(60^\circ) = 21 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 84\sqrt{3} \text{ см}^2\] 3. Объем параллелепипеда: \[V = S_{осн} \cdot H = 84\sqrt{3} \cdot 7,5 = 630\sqrt{3} \text{ см}^3\] Ответ: \(630\sqrt{3} \text{ см}^3\). Задача 5. Дано: прямая призма, стороны основания \(a = 10\) см, \(b = 28\) см, \(c = 32\) см. Боковое ребро (высота) \(H = 11\) см. Найти: объем \(V\). Решение: 1. Найдем площадь основания по формуле Герона. Полупериметр \(p\): \[p = \frac{10 + 28 + 32}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ см}\] 2. Площадь основания: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35(35-10)(35-28)(35-32)} = \sqrt{35 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 3}\] \[S = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 3} = 5 \cdot 7 \sqrt{15} = 35\sqrt{15} \text{ см}^2\] 3. Объем призмы: \[V = S \cdot H = 35\sqrt{15} \cdot 11 = 385\sqrt{15} \text{ см}^3\] Ответ: \(385\sqrt{15} \text{ см}^3\).