Решение задачи: Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Задание 7.6. Дискретная случайная величина \( X \) задана рядом распределения: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X_i & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline p_i & 0,2 & 0,3 & 0,3 & 0,2 \\ \hline \end{array} \] Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения. Решение: 1. Проверим условие нормировки: \[ \sum p_i = 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 1,0 \] Условие выполняется. 2. Найдем математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = \sum X_i \cdot p_i \] \[ M(X) = 2 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2 = 0,4 + 0,9 + 1,2 + 1,0 = 3,5 \] 3. Найдем дисперсию \( D(X) \). Воспользуемся формулой \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \). Сначала вычислим \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \sum X_i^2 \cdot p_i \] \[ M(X^2) = 2^2 \cdot 0,2 + 3^2 \cdot 0,3 + 4^2 \cdot 0,3 + 5^2 \cdot 0,2 \] \[ M(X^2) = 4 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,3 + 25 \cdot 0,2 = 0,8 + 2,7 + 4,8 + 5,0 = 13,3 \] Теперь вычислим дисперсию: \[ D(X) = 13,3 - (3,5)^2 = 13,3 - 12,25 = 1,05 \] 4. Найдем функцию распределения \( F(x) = P(X < x) \): - При \( x \le 2 \): \( F(x) = 0 \) - При \( 2 < x \le 3 \): \( F(x) = 0,2 \) - При \( 3 < x \le 4 \): \( F(x) = 0,2 + 0,3 = 0,5 \) - При \( 4 < x \le 5 \): \( F(x) = 0,5 + 0,3 = 0,8 \) - При \( x > 5 \): \( F(x) = 0,8 + 0,2 = 1,0 \) Запишем функцию распределения в виде: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 2 \\ 0,2, & 2 < x \le 3 \\ 0,5, & 3 < x \le 4 \\ 0,8, & 4 < x \le 5 \\ 1, & x > 5 \end{cases} \] Ответ: \( M(X) = 3,5 \); \( D(X) = 1,05 \); функция \( F(x) \) приведена выше.