Решение контрольной работы по теме "Неравенства", 1 вариант

Контрольная работа по теме: «Неравенства». 1 вариант Задание 1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) \( 6x - 4 > 4x + 3 \) Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа в правую: \( 6x - 4x > 3 + 4 \) \( 2x > 7 \) \( x > 3,5 \) Ответ: \( x \in (3,5; +\infty) \). (На прямой нужно отметить выколотую точку 3,5 и заштриховать область справа от нее). б) \( -16 - 2(2x - 1) \ge 2 \) Раскроем скобки: \( -16 - 4x + 2 \ge 2 \) \( -4x - 14 \ge 2 \) \( -4x \ge 2 + 14 \) \( -4x \ge 16 \) Разделим на -4, меняя знак неравенства: \( x \le -4 \) Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \). (На прямой нужно отметить закрашенную точку -4 и заштриховать область слева от нее). Задание 2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} 12x - 10 < 7x + 5 \\ 9x - 11 > 5x - 3 \end{cases} \] Решим каждое неравенство отдельно: 1) \( 12x - 7x < 5 + 10 \Rightarrow 5x < 15 \Rightarrow x < 3 \) 2) \( 9x - 5x > -3 + 11 \Rightarrow 4x > 8 \Rightarrow x > 2 \) Получаем систему: \[ \begin{cases} x < 3 \\ x > 2 \end{cases} \] Ответ: \( x \in (2; 3) \). Задание 3. Решите неравенство методом интервалов: а) \( (x + 11)(x + 5)(x - 9) \ge 0 \) Корни множителей: \( x = -11, x = -5, x = 9 \). Расставим знаки на интервалах: - на \( (-\infty; -11] \) знак «-» - на \( [-11; -5] \) знак «+» - на \( [-5; 9] \) знак «-» - на \( [9; +\infty) \) знак «+» Нам нужны интервалы со знаком «+». Ответ: \( x \in [-11; -5] \cup [9; +\infty) \). б) \( \frac{x - 4}{x + 8} < 0 \) Корни: \( x = 4 \) и \( x = -8 \) (знаменатель не равен 0). Расставим знаки: - на \( (-\infty; -8) \) знак «+» - на \( (-8; 4) \) знак «-» - на \( (4; +\infty) \) знак «+» Нам нужен интервал со знаком «-». Ответ: \( x \in (-8; 4) \). Задание 4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: а) \( x^2 - 12x + 20 \ge 0 \) Найдем корни уравнения \( x^2 - 12x + 20 = 0 \): \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 = 8^2 \) \( x_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10 \); \( x_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2 \) Парабола ветвями вверх пересекает ось в точках 2 и 10. Значения \( \ge 0 \) находятся по краям. Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \cup [10; +\infty) \). б) \( x^2 - 8x + 20 > 0 \) Найдем дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 20 = 64 - 80 = -16 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда находится выше оси \( Ox \). Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \). в) \( x^2 - 36 < 0 \) \( (x - 6)(x + 6) < 0 \) Корни: \( x = 6, x = -6 \). Парабола ветвями вверх, значения \( < 0 \) между корнями. Ответ: \( x \in (-6; 6) \). Задание 5. Изобразите на координатной плоскости множество точек: а) \( y > 3x - 2 \) Нужно построить прямую \( y = 3x - 2 \) (пунктиром, так как неравенство строгое) и заштриховать область выше этой прямой. б) \( x^2 + y^2 \le 9 \) Это уравнение окружности с центром в начале координат \( (0,0) \) и радиусом \( R = \sqrt{9} = 3 \). Нужно нарисовать окружность радиусом 3 (сплошной линией) и заштриховать область внутри неё.