Решение задачи волочения проволоки: определение конечного диаметра

Задача 1 Дано: \(d_0 = 5,5\) мм — начальный диаметр; \(n = 5\) — количество проходов; \(\mu = 1,25\) — коэффициент вытяжки в каждом проходе. Найти: \(d_n\) — конечный диаметр. Решение: Суммарный коэффициент вытяжки за \(n\) проходов равен произведению коэффициентов вытяжки в каждом проходе: \[\mu_{\Sigma} = \mu^n = 1,25^5 \approx 3,05176\] Связь между коэффициентом вытяжки и диаметрами выражается формулой: \[\mu_{\Sigma} = \frac{d_0^2}{d_n^2}\] Отсюда выражаем конечный диаметр: \[d_n = \frac{d_0}{\sqrt{\mu_{\Sigma}}} = \frac{d_0}{\sqrt{\mu^n}}\] \[d_n = \frac{5,5}{\sqrt{1,25^5}} = \frac{5,5}{\sqrt{3,05176}} \approx \frac{5,5}{1,7469} \approx 3,148 \text{ мм}\] Ответ: \(d_n \approx 3,15\) мм. Задача 2 Дано: Маршрут волочения (в мм): \(5,30 \to 4,70 \to 4,10 \to 3,55 \to 3,10\). Найти: единичные степени деформации (\(\epsilon_i\)) на каждом переходе. Решение: Единичная степень деформации (относительное обжатие) вычисляется по формуле: \[\epsilon_i = \frac{d_{i-1}^2 - d_i^2}{d_{i-1}^2} \cdot 100\%\] 1 проход (\(5,30 \to 4,70\)): \[\epsilon_1 = \frac{5,30^2 - 4,70^2}{5,30^2} \cdot 100\% = \frac{28,09 - 22,09}{28,09} \cdot 100\% \approx 21,36\%\] 2 проход (\(4,70 \to 4,10\)): \[\epsilon_2 = \frac{4,70^2 - 4,10^2}{4,70^2} \cdot 100\% = \frac{22,09 - 16,81}{22,09} \cdot 100\% \approx 23,90\%\] 3 проход (\(4,10 \to 3,55\)): \[\epsilon_3 = \frac{4,10^2 - 3,55^2}{4,10^2} \cdot 100\% = \frac{16,81 - 12,6025}{16,81} \cdot 100\% \approx 25,03\%\] 4 проход (\(3,55 \to 3,10\)): \[\epsilon_4 = \frac{3,55^2 - 3,10^2}{3,55^2} \cdot 100\% = \frac{12,6025 - 9,61}{12,6025} \cdot 100\% \approx 23,75\%\] Ответ: \(\epsilon_1 \approx 21,36\%\); \(\epsilon_2 \approx 23,90\%\); \(\epsilon_3 \approx 25,03\%\); \(\epsilon_4 \approx 23,75\%\). Задача 3 Дано: \(d_0 = 5,30\) мм; \(d_k = 3,10\) мм. Найти: суммарную степень деформации (\(\epsilon_{\Sigma}\)). Решение: Суммарная степень деформации определяется по начальному и конечному диаметрам маршрута: \[\epsilon_{\Sigma} = \frac{d_0^2 - d_k^2}{d_0^2} \cdot 100\%\] \[\epsilon_{\Sigma} = \frac{5,30^2 - 3,10^2}{5,30^2} \cdot 100\%\] \[\epsilon_{\Sigma} = \frac{28,09 - 9,61}{28,09} \cdot 100\% = \frac{18,48}{28,09} \cdot 100\% \approx 65,79\%\] Ответ: \(\epsilon_{\Sigma} \approx 65,79\%\).