Решение: Упрощение тригонометрических выражений

Ниже представлено подробное решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. А1. Упростить: \( \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \) Решение: Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). Разложим числитель как разность квадратов: \[ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} \] Сокращаем дробь на \( (\cos \alpha + \sin \alpha) \): \[ \cos \alpha - \sin \alpha \] Ответ: 1) \( \cos \alpha - \sin \alpha \). А2. Упростить: \( \frac{\text{ctg}^2 (\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{1 + \text{tg}^2 \alpha} \) Решение: 1) По формуле приведения \( \text{ctg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{tg} \alpha \), следовательно, числитель равен \( \text{tg}^2 \alpha \). 2) Используем тригонометрическое тождество \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). 3) Подставляем в выражение: \[ \frac{\text{tg}^2 \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \] Ответ: 3) \( \sin^2 \alpha \). А3. Упростить: \( \sin 2,5\alpha \cos 1,5\alpha + \sin 1,5\alpha \cos 2,5\alpha + \cos (4\pi - \alpha) \) Решение: 1) Первые два слагаемых — это формула синуса суммы \( \sin(x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x \): \[ \sin(2,5\alpha + 1,5\alpha) = \sin 4\alpha \] 2) По формуле приведения (период косинуса \( 2\pi \)): \( \cos(4\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos \alpha \). 3) Итоговое выражение: \[ \sin 4\alpha + \cos \alpha \] Ответ: 2) \( \sin 4\alpha + \cos \alpha \). А4. Найти \( \text{tg} \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \) и \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \). Решение: 1) Угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. 2) Найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{5}} = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \] 3) Найдем тангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = -2 \] Ответ: 4) \( -2 \). В1. Вычислить: \( \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{16} \cos^3 \frac{\pi}{16} - \sqrt{2} \sin^3 \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} \) Решение: Вынесем общий множитель за скобки: \[ \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} (\cos^2 \frac{\pi}{16} - \sin^2 \frac{\pi}{16}) \] Заметим, что в скобках формула косинуса двойного угла, а перед скобками — часть формулы синуса двойного угла: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}) \cdot \cos(2 \cdot \frac{\pi}{16}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \] Снова применим формулу синуса двойного угла: \[ \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{4} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{8} = 0,25 \] Ответ: \( 0,25 \). В2. Найти значение: \( \frac{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha} \), если \( \cos \alpha = \frac{1}{5} \). Решение: Распишем \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \): \[ \frac{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha} \] Вынесем \( 2 \sin \alpha \) в числителе и знаменателе и сократим: \[ \frac{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} \] Подставим значение \( \cos \alpha = \frac{1}{5} = 0,2 \): \[ \frac{1 + 0,2}{1 - 0,2} = \frac{1,2}{0,8} = \frac{12}{8} = 1,5 \] Ответ: \( 1,5 \).