Решение задачи №5: Доказательство подобия треугольников CBH и CAM

Задача №5 Дано: \( \triangle ABC \), \( AM \perp BC \) (высота), \( BH \perp AC \) (высота). Доказать: \( \triangle CBH \sim \triangle CAM \). Доказательство: Рассмотрим треугольники \( CBH \) и \( CAM \). 1. Угол \( \angle C \) является общим для обоих треугольников (\( \angle HCB = \angle MCA \)). 2. По условию \( AM \) и \( BH \) — высоты, следовательно: Угол \( \angle BHC = 90^\circ \) (так как \( BH \perp AC \)), Угол \( \angle AMC = 90^\circ \) (так как \( AM \perp BC \)). Значит, \( \angle BHC = \angle AMC = 90^\circ \). 3. Треугольники \( CBH \) и \( CAM \) подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В нашем случае: \( \angle C \) — общий, \( \angle BHC = \angle AMC \). Следовательно, \( \triangle CBH \sim \triangle CAM \). Что и требовалось доказать.