Задача №5: Нахождение объема пирамиды

Задача №5 Дано: Пирамида, в основании которой лежит треугольник со сторонами \( a = 8 \) см, \( b = 15 \) см, \( c = 17 \) см. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом \( \alpha = 30^\circ \). Найти: \( V \) (объем пирамиды). Решение: 1. Проверим вид треугольника в основании. Воспользуемся теоремой Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \] \[ c^2 = 17^2 = 289 \] Так как \( a^2 + b^2 = c^2 \), то треугольник в основании является прямоугольным с катетами 8 см и 15 см. 2. Найдем площадь основания \( S_{осн} \): \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60 \text{ (см}^2) \] 3. Так как все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом, вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. Радиус \( r \) вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] \[ r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ (см)} \] 4. Найдем высоту пирамиды \( H \). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой: \[ H = r \cdot \tan(\alpha) \] \[ H = 3 \cdot \tan(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ (см)} \] 5. Вычислим объем пирамиды \( V \): \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ (см}^3) \] Ответ: \( 20\sqrt{3} \text{ см}^3 \).