Решение задач по алгебре: примеры и объяснения

Ниже представлены решения задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задание 1. Упростите выражение: \((2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 9\) Решение: \[ (2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 9 = 4 \cdot 3 - 4 \cdot 3 + 9 = 12 - 12 + 9 = 9 \] Ответ: 9. Задание 2. Решите уравнение: \(\sqrt[3]{x^2 - 7x} = 2\) Решение: Возведем обе части уравнения в куб: \[ x^2 - 7x = 2^3 \] \[ x^2 - 7x = 8 \] \[ x^2 - 7x - 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -8 \] Отсюда \(x_1 = 8\), \(x_2 = -1\). Ответ: -1; 8. Задание 3. Решите уравнение: \(\frac{x+1}{x-3} - \frac{x-1}{x+3} = \frac{8}{x^2-9}\) Решение: ОДЗ: \(x \neq 3, x \neq -3\). Приведем к общему знаменателю \((x-3)(x+3)\): \[ \frac{(x+1)(x+3) - (x-1)(x-3)}{x^2-9} = \frac{8}{x^2-9} \] \[ (x^2 + 4x + 3) - (x^2 - 4x + 3) = 8 \] \[ x^2 + 4x + 3 - x^2 + 4x - 3 = 8 \] \[ 8x = 8 \] \[ x = 1 \] Ответ: 1. Задание 4. Решите неравенство: \(\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 4} \leq 0\) Решение: Разложим числитель на множители: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). \[ \frac{(x-2)(x-3)}{x-4} \leq 0 \] Метод интервалов: точки 2 и 3 закрашены, точка 4 выколота. Знаки на интервалах: \((-\infty; 2]\) : минус \([2; 3]\) : плюс \([3; 4)\) : минус \((4; +\infty)\) : плюс Нам нужны промежутки со знаком минус. Ответ: \(x \in (-\infty; 2] \cup [3; 4)\). Задание 5. Решите уравнение: \(3^{x+1} + 3^{x-1} = 90\) Решение: Вынесем \(3^{x-1}\) за скобки: \[ 3^{x-1} \cdot (3^2 + 1) = 90 \] \[ 3^{x-1} \cdot (9 + 1) = 90 \] \[ 3^{x-1} \cdot 10 = 90 \] \[ 3^{x-1} = 9 \] \[ 3^{x-1} = 3^2 \] \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3. Задание 6. Решите неравенство: \(3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 < 0\) Решение: Пусть \(3^x = t\), где \(t > 0\). \[ t^2 - 4t + 3 < 0 \] Корни уравнения \(t^2 - 4t + 3 = 0\) это \(t_1 = 1, t_2 = 3\). Решение неравенства для \(t\): \(1 < t < 3\). Вернемся к замене: \[ 1 < 3^x < 3 \] \[ 3^0 < 3^x < 3^1 \] \[ 0 < x < 1 \] Ответ: \((0; 1)\). Задание 7. Решите уравнение: \(x - \sqrt{x} - 2 = 0\) Решение: Пусть \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geq 0\). \[ t^2 - t - 2 = 0 \] По теореме Виета: \(t_1 = 2, t_2 = -1\). Так как \(t \geq 0\), подходит только \(t = 2\). \[ \sqrt{x} = 2 \] \[ x = 4 \] Ответ: 4. Задание 8. Решите уравнение: \(\sin(2x) - \cos(x) = 0\) Решение: Используем формулу синуса двойного угла: \[ 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \] \[ \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 \] 1) \(\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) 2) \(2\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n; (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}\). Задание 9. Решите неравенство: \(\sin(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}\) Решение: По тригонометрическому кругу определяем дугу, где синус больше \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это интервал от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{2\pi}{3}\). С учетом периодичности: \[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \((\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}\).