Решение задачи 4. Вариант 5: Сравнение дисперсий

Задача 4. Вариант 5 Условие: При уровне значимости \( \alpha = 0,1 \) проверить гипотезу о равенстве двух дисперсий нормальных распределенных случайных величин \( X \) и \( Y \) на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе \( H_1: \sigma_x^2 \neq \sigma_y^2 \). Данные выборки X: \( x_i \): 6, 7, 9, 10 \( n_i \): 1, 8, 7, 2 Данные выборки Y: \( y_i \): 6,5, 7,4, 8,2, 9,1 \( m_i \): 2, 5, 3, 7 Решение: 1. Найдем объемы выборок: Для X: \( n = \sum n_i = 1 + 8 + 7 + 2 = 18 \) Для Y: \( m = \sum m_i = 2 + 5 + 3 + 7 = 17 \) 2. Вычислим выборочные средние: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i n_i = \frac{6 \cdot 1 + 7 \cdot 8 + 9 \cdot 7 + 10 \cdot 2}{18} = \frac{6 + 56 + 63 + 20}{18} = \frac{145}{18} \approx 8,056 \] \[ \bar{y} = \frac{1}{m} \sum y_i m_i = \frac{6,5 \cdot 2 + 7,4 \cdot 5 + 8,2 \cdot 3 + 9,1 \cdot 7}{17} = \frac{13 + 37 + 24,6 + 63,7}{17} = \frac{138,3}{17} \approx 8,135 \] 3. Вычислим исправленные выборочные дисперсии: Для X: \[ s_x^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum x_i^2 n_i - n \bar{x}^2 \right) \] \[ \sum x_i^2 n_i = 36 \cdot 1 + 49 \cdot 8 + 81 \cdot 7 + 100 \cdot 2 = 36 + 392 + 567 + 200 = 1195 \] \[ s_x^2 = \frac{1}{17} \left( 1195 - 18 \cdot (8,056)^2 \right) \approx \frac{1195 - 1168,18}{17} \approx \frac{26,82}{17} \approx 1,578 \] Для Y: \[ s_y^2 = \frac{1}{m-1} \left( \sum y_i^2 m_i - m \bar{y}^2 \right) \] \[ \sum y_i^2 m_i = 42,25 \cdot 2 + 54,76 \cdot 5 + 67,24 \cdot 3 + 82,81 \cdot 7 = 84,5 + 273,8 + 201,72 + 579,67 = 1139,69 \] \[ s_y^2 = \frac{1}{16} \left( 1139,69 - 17 \cdot (8,135)^2 \right) \approx \frac{1139,69 - 1125,03}{16} \approx \frac{14,66}{16} \approx 0,916 \] 4. Проверка гипотезы по критерию Фишера: Основная гипотеза \( H_0: \sigma_x^2 = \sigma_y^2 \) Наблюдаемое значение критерия (большую дисперсию делим на меньшую): \[ F_{набл} = \frac{s_x^2}{s_y^2} = \frac{1,578}{0,916} \approx 1,723 \] 5. Определим критическую точку: Число степеней свободы: \( k_1 = n - 1 = 17 \), \( k_2 = m - 1 = 16 \). Так как альтернативная гипотеза двухсторонняя (\( \sigma_x^2 \neq \sigma_y^2 \)), уровень значимости для критической точки берем \( \alpha/2 = 0,05 \). По таблице распределения Фишера: \( F_{крит}(0,05; 17; 16) \approx 2,31 \). 6. Вывод: Так как \( F_{набл} < F_{крит} \) (\( 1,723 < 2,31 \)), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Ответ: На уровне значимости 0,1 данные не противоречат гипотезе о равенстве дисперсий.