Контрольная работа №5: Квадратные уравнения. Теорема Виета

Контрольная работа № 5 Тема: Квадратные уравнения. Теорема Виета Задание 1. Решите уравнение: 1) \( 7x^2 - 21 = 0 \) \( 7x^2 = 21 \) \( x^2 = 3 \) \( x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3} \) Ответ: \( \pm\sqrt{3} \) 2) \( 5x^2 + 9x = 0 \) \( x(5x + 9) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( 5x + 9 = 0 \) \( 5x = -9 \) \( x_2 = -1,8 \) Ответ: 0; -1,8 3) \( x^2 + x - 42 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \) \( x_1 \cdot x_2 = -42 \) Подбором находим: \( x_1 = -7, x_2 = 6 \) Ответ: -7; 6 4) \( 3x^2 - 28x + 9 = 0 \) \( D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2 \) \( x_1 = \frac{28 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9 \) \( x_2 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) Ответ: 9; \( \frac{1}{3} \) 5) \( 2x^2 - 8x + 11 = 0 \) \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 64 - 88 = -24 \) Так как \( D < 0 \), корней нет. Ответ: корней нет 6) \( 16x^2 - 8x + 1 = 0 \) \( (4x - 1)^2 = 0 \) \( 4x - 1 = 0 \) \( 4x = 1 \) \( x = 0,25 \) Ответ: 0,25 Задание 2. Приведённое квадратное уравнение имеет вид \( x^2 + px + q = 0 \). По теореме Виета: \( p = -(x_1 + x_2) = -(-10) = 10 \) \( q = x_1 \cdot x_2 = 8 \) Уравнение: \( x^2 + 10x + 8 = 0 \) Ответ: \( x^2 + 10x + 8 = 0 \) Задание 3. Пусть \( d \) — диагональ, \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. По условию: \( a = d - 8 \), \( b = d - 4 \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \) \( (d - 8)^2 + (d - 4)^2 = d^2 \) \( d^2 - 16d + 64 + d^2 - 8d + 16 = d^2 \) \( d^2 - 24d + 80 = 0 \) По теореме Виета: \( d_1 = 20, d_2 = 4 \). Значение \( d = 4 \) не подходит, так как тогда сторона \( a = 4 - 8 = -4 \) (отрицательная). Значит, \( d = 20 \) см. Стороны: \( a = 20 - 8 = 12 \) см, \( b = 20 - 4 = 16 \) см. Ответ: 12 см, 16 см. Задание 4. \( 2x^2 + 7x + c = 0 \), \( x_1 = -3 \). Подставим \( x_1 \) в уравнение: \( 2 \cdot (-3)^2 + 7 \cdot (-3) + c = 0 \) \( 18 - 21 + c = 0 \) \( -3 + c = 0 \Rightarrow c = 3 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -\frac{7}{2} = -3,5 \) \( -3 + x_2 = -3,5 \) \( x_2 = -0,5 \) Ответ: \( c = 3 \), \( x_2 = -0,5 \) Задание 5. Уравнение \( 3x^2 - 6x + a = 0 \) имеет один корень, если \( D = 0 \). \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a \) \( 36 - 12a = 0 \) \( 12a = 36 \) \( a = 3 \) Ответ: 3 Задание 6. \( x^2 + 12x + 6 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -12 \) \( x_1 \cdot x_2 = 6 \) Используем формулу квадрата суммы: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \) \( x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 6 = 144 - 12 = 132 \) Ответ: 132