Решение двойного интеграла ∫∫(x + 2y) dx dy

Задание: Вычислить двойной интеграл \(\iint\limits_{D} (x + 2y) dx dy\) по области \(D\), изображенной на рисунке. Решение: 1. Определим границы интегрирования по рисунку. Область \(D\) представляет собой прямоугольник, ограниченный следующими линиями: по оси \(x\): от \(0\) до \(3\); по оси \(y\): от \(2\) до \(6\). Таким образом, область \(D = \{ (x, y) \mid 0 \le x \le 3, 2 \le y \le 6 \}\). 2. Перейдем от двойного интеграла к повторному: \[ I = \int_{0}^{3} dx \int_{2}^{6} (x + 2y) dy \] 3. Вычислим внутренний интеграл по переменной \(y\), считая \(x\) константой: \[ \int_{2}^{6} (x + 2y) dy = [xy + y^2] \Big|_{2}^{6} \] Подставим верхний и нижний пределы: \[ (x \cdot 6 + 6^2) - (x \cdot 2 + 2^2) = (6x + 36) - (2x + 4) = 4x + 32 \] 4. Теперь вычислим внешний интеграл по переменной \(x\): \[ I = \int_{0}^{3} (4x + 32) dx \] \[ I = [2x^2 + 32x] \Big|_{0}^{3} \] Подставим пределы интегрирования: \[ I = (2 \cdot 3^2 + 32 \cdot 3) - (2 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0) \] \[ I = (2 \cdot 9 + 96) - 0 \] \[ I = 18 + 96 = 114 \] Ответ: 114