Решение двойного интеграла с пределами интегрирования

Задание: Перейти от двойного интеграла \(\iint\limits_{D} f(x,y) dx dy\) к повторному, расставив пределы интегрирования, если область \(D\) ограничена прямыми \(y = 1\), \(y = 2x\) и \(y = 6 - x\). Решение: 1. Найдем точки пересечения прямых, чтобы определить вершины области: Пересечение \(y = 2x\) и \(y = 1\): \(2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\). Точка \(A(\frac{1}{2}; 1)\). Пересечение \(y = 6 - x\) и \(y = 1\): \(6 - x = 1 \Rightarrow x = 5\). Точка \(B(5; 1)\). Пересечение \(y = 2x\) и \(y = 6 - x\): \(2x = 6 - x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Тогда \(y = 2 \cdot 2 = 4\). Точка \(C(2; 4)\). 2. Рассмотрим область \(D\). Она ограничена снизу прямой \(y = 1\), а сверху ломаной линией, состоящей из двух частей: \(y = 2x\) (при \(x\) от \(\frac{1}{2}\) до \(2\)) и \(y = 6 - x\) (при \(x\) от \(2\) до \(5\)). 3. Если интегрировать сначала по \(y\), а затем по \(x\), область придется разбивать на две части: Для \(x \in [\frac{1}{2}; 2]\) пределы по \(y\) от \(1\) до \(2x\). Для \(x \in [2; 5]\) пределы по \(y\) от \(1\) до \(6 - x\). Это соответствует первому варианту в списке: \[ \int_{1/2}^{2} dx \int_{1}^{2x} f(x,y) dy + \int_{2}^{5} dx \int_{1}^{6-x} f(x,y) dy \] 4. Если интегрировать сначала по \(x\), а затем по \(y\), область разбивать не нужно. Выразим \(x\) через \(y\) из уравнений границ: Из \(y = 2x\) получаем \(x = \frac{y}{2}\) (левая граница). Из \(y = 6 - x\) получаем \(x = 6 - y\) (правая граница). Переменная \(y\) меняется от \(1\) до \(4\) (ордината точки \(C\)). Повторный интеграл будет выглядеть так: \[ \int_{1}^{4} dy \int_{y/2}^{6-y} f(x,y) dx \] Это соответствует третьему варианту в списке. В задании указано "Выберите один или несколько вариантов ответа". Правильными являются первый и третий варианты. Ответ: 1) \(\int_{1/2}^{2} dx \int_{1}^{2x} f(x,y) dy + \int_{2}^{5} dx \int_{1}^{6-x} f(x,y) dy\) 3) \(\int_{1}^{4} dy \int_{y/2}^{6-y} f(x,y) dx\)