Решение задач по геометрии: Площади фигур

Контрольная работа по геометрии по теме «Площади» Задача 1. Дано: квадрат, сторона \( a = 7\sqrt{2} \). Найти: \( S \). Решение: Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[ S = a^2 \] Подставим значение стороны: \[ S = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98 \] Ответ: 98. Задача 2. Дано: параллелограмм, \( S = 32 \), стороны \( a = 8 \), \( b = 16 \). Найти: \( h_{max} \). Решение: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \( S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \). 1) Найдем высоту к стороне \( a \): \[ h_a = \frac{S}{a} = \frac{32}{8} = 4 \] 2) Найдем высоту к стороне \( b \): \[ h_b = \frac{S}{b} = \frac{32}{16} = 2 \] Большая высота равна 4. Ответ: 4. Задача 3. Дано: ромб, диагонали \( d_1 = 10 \) см, \( d_2 = 16 \) см. Найти: \( S \). Решение: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 = 5 \cdot 16 = 80 \text{ см}^2 \] Ответ: 80 см\(^2\). Задача 4. Дано: равнобедренная трапеция, основания \( a = 3 \), \( b = 5 \), угол при основании \( \alpha = 45^\circ \). Найти: \( S \). Решение: 1) Проведем высоту \( h \) из вершины меньшего основания к большему. Так как трапеция равнобедренная, отрезок на большем основании равен: \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] 2) В прямоугольном треугольнике с углом \( 45^\circ \) катеты равны, значит высота \( h = x = 1 \). 3) Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = 4 \] Ответ: 4. Задача 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 45^\circ \), \( BC = 12 \) см, \( BD \perp AC \), \( AD = 5 \) см, \( DC = 7 \) см. Найти: \( h_{BC} \). Решение: 1) В \( \triangle BDC \) (\( \angle D = 90^\circ \)): так как \( \angle C = 45^\circ \), то \( \angle DBC = 45^\circ \), значит \( BD = DC = 7 \) см. 2) Сторона \( AC = AD + DC = 5 + 7 = 12 \) см. 3) Площадь \( \triangle ABC \): \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 7 = 42 \text{ см}^2 \] 4) Также площадь можно выразить через высоту к стороне \( BC \): \[ S = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BC} \Rightarrow 42 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_{BC} \] \[ 42 = 6 \cdot h_{BC} \Rightarrow h_{BC} = 7 \text{ см} \] Ответ: 7 см. Задача 6. Дано: параллелограмм, \( P = 32 \) см, одна сторона \( a = 6 \) см, один из углов на \( 60^\circ \) больше прямого. Найти: \( S \). Решение: 1) Найдем вторую сторону \( b \): \[ P = 2(a + b) \Rightarrow 32 = 2(6 + b) \Rightarrow 16 = 6 + b \Rightarrow b = 10 \text{ см} \] 2) Угол параллелограмма \( \beta = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \). 3) Сумма соседних углов равна \( 180^\circ \), значит острый угол \( \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). 4) Площадь параллелограмма: \[ S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 60 \cdot 0,5 = 30 \text{ см}^2 \] Ответ: 30 см\(^2\).