Нахождение пределов интегрирования в двойном интеграле

Задание: Перейти от двойного интеграла \(\iint\limits_{D} f(x,y) dx dy\) к повторному, расставив пределы интегрирования, если область \(D\) ограничена прямыми \(y = 2x\), \(y = -x\) и \(x = 3\). Решение: 1. Найдем точки пересечения прямых, чтобы определить границы области: Пересечение \(y = 2x\) и \(y = -x\): \(2x = -x \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0\). Тогда \(y = 0\). Точка \(O(0; 0)\). Пересечение \(y = 2x\) и \(x = 3\): \(y = 2 \cdot 3 = 6\). Точка \(A(3; 6)\). Пересечение \(y = -x\) и \(x = 3\): \(y = -3\). Точка \(B(3; -3)\). 2. Рассмотрим порядок интегрирования \(dx dy\) (сначала по \(y\), затем по \(x\)): Область \(D\) по оси \(x\) ограничена значениями от \(0\) до \(3\). Для любого фиксированного \(x\) из этого интервала, переменная \(y\) меняется от нижней границы \(y = -x\) до верхней границы \(y = 2x\). Повторный интеграл: \[ \int_{0}^{3} dx \int_{-x}^{2x} f(x,y) dy \] Это соответствует первому варианту в списке. 3. Рассмотрим порядок интегрирования \(dy dx\) (сначала по \(x\), затем по \(y\)): Здесь область нужно разбить на две части по оси \(y\), так как левая граница меняется в точке \(y = 0\). Нижняя часть: \(y\) меняется от \(-3\) до \(0\). Левая граница \(y = -x \Rightarrow x = -y\), правая граница \(x = 3\). Интеграл: \(\int_{-3}^{0} dy \int_{-y}^{3} f(x,y) dx\). Верхняя часть: \(y\) меняется от \(0\) до \(6\). Левая граница \(y = 2x \Rightarrow x = \frac{y}{2}\), правая граница \(x = 3\). Интеграл: \(\int_{0}^{6} dy \int_{y/2}^{3} f(x,y) dx\). Сумма этих интегралов: \[ \int_{-3}^{0} dy \int_{-y}^{3} f(x,y) dx + \int_{0}^{6} dy \int_{y/2}^{3} f(x,y) dx \] Это соответствует второму варианту в списке. Ответ: 1) \(\int_{0}^{3} dx \int_{-x}^{2x} f(x,y) dy\) 2) \(\int_{-3}^{0} dy \int_{-y}^{3} f(x,y) dx + \int_{0}^{6} dy \int_{y/2}^{3} f(x,y) dx\)