Решение двойного интеграла ∫∫ (x + e^y) dx dy

Задание: Вычислить интеграл \(\iint\limits_{D} (x + e^y) dx dy\), если область \(D\) ограничена кривой \(y = \ln x\) и прямыми \(y = 0\) и \(x = e\). Решение: 1. Определим границы области \(D\). Прямая \(y = 0\) — это ось \(Ox\). Кривая \(y = \ln x\) пересекает ось \(Ox\) в точке \(x = 1\) (так как \(\ln 1 = 0\)). Прямая \(x = e\) ограничивает область справа. Таким образом, по переменной \(x\) область ограничена от \(1\) до \(e\). Для каждого \(x\) из этого промежутка переменная \(y\) меняется от нижней границы \(y = 0\) до верхней границы \(y = \ln x\). 2. Запишем двойной интеграл как повторный: \[ I = \int_{1}^{e} dx \int_{0}^{\ln x} (x + e^y) dy \] 3. Вычислим внутренний интеграл по \(y\): \[ \int_{0}^{\ln x} (x + e^y) dy = [xy + e^y] \Big|_{0}^{\ln x} \] Подставим пределы: \[ (x \ln x + e^{\ln x}) - (x \cdot 0 + e^0) = x \ln x + x - 1 \] 4. Теперь вычислим внешний интеграл по \(x\): \[ I = \int_{1}^{e} (x \ln x + x - 1) dx = \int_{1}^{e} x \ln x \, dx + \int_{1}^{e} (x - 1) \, dx \] Вычислим \(\int x \ln x \, dx\) методом интегрирования по частям (\(u = \ln x, dv = x dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^2}{2}\)): \[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \] Теперь подставим всё в общее выражение: \[ I = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} - x \right] \Big|_{1}^{e} = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} - x \right] \Big|_{1}^{e} \] Подставляем верхний предел \(e\): \[ \frac{e^2}{2} \ln e + \frac{e^2}{4} - e = \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} - e = \frac{3e^2}{4} - e \] Подставляем нижний предел \(1\): \[ \frac{1^2}{2} \ln 1 + \frac{1^2}{4} - 1 = 0 + \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \] Вычитаем результаты: \[ I = \left( \frac{3e^2}{4} - e \right) - \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{3}{4}e^2 - e + \frac{3}{4} \] Ответ: \[ \frac{3}{4}e^2 - e + \frac{3}{4} \] (Третий вариант в списке)