Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Задание: Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле \(\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx\). Решение: 1. Выпишем границы области интегрирования из исходного интеграла: По внешней переменной: \(0 \le y \le 1\). По внутренней переменной: \(y \le x \le \sqrt{y}\). 2. Проанализируем линии, ограничивающие область: Левая граница: \(x = y\) (или \(y = x\)). Правая граница: \(x = \sqrt{y}\). Возведем в квадрат: \(y = x^2\). Точки пересечения этих линий: \(x^2 = x \Rightarrow x(x - 1) = 0\). Точки \((0;0)\) и \((1;1)\). 3. Изменим порядок интегрирования (теперь внешним будет \(x\), а внутренним \(y\)): По оси \(x\) область также заключена в пределах от \(0\) до \(1\). Теперь определим границы по \(y\) для фиксированного \(x\). Посмотрим на уравнения границ относительно \(y\): Нижняя граница области — это кривая \(x = \sqrt{y}\), что дает нам \(y = x^2\). Верхняя граница области — это прямая \(x = y\), что дает нам \(y = x\). 4. Запишем новый повторный интеграл: Внешние пределы по \(x\): от \(0\) до \(1\). Внутренние пределы по \(y\): от нижней границы \(y = x^2\) до верхней границы \(y = x\). \[ \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy \] Этот результат соответствует четвертому варианту в списке. Ответ: \[ \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}^{x} f(x,y) dy \]