Решение задач с логарифмами: примеры и решения

Вариант 1 Задание 1. Вычислите: 1) \(\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} 2^{-3} = -3\) 2) \(\log_{10} 4 + \log_{10} 25 = \log_{10} (4 \cdot 25) = \log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2\) 3) \(\frac{1}{4} \log_{3} \frac{16}{81} - \frac{1}{3} \log_{3} \frac{8}{27} = \log_{3} (\frac{16}{81})^{\frac{1}{4}} - \log_{3} (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \log_{3} \frac{2}{3} - \log_{3} \frac{2}{3} = 0\) Задание 2. Сравните \(\log_{0,02} 3,5\) и \(\log_{0,02} 4,1\). Так как основание логарифма \(0 < 0,02 < 1\), то логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как \(3,5 < 4,1\), то \(\log_{0,02} 3,5 > \log_{0,02} 4,1\). Задание 3. Найдите область определения функции \(y = \lg(5x - 3)\). Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: \[5x - 3 > 0\] \[5x > 3\] \[x > 0,6\] Ответ: \(x \in (0,6; +\infty)\). Задание 4. Решите уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{7}} (2x + 5) = -2\) По определению логарифма: \[2x + 5 = (\frac{1}{7})^{-2}\] \[2x + 5 = 7^2\] \[2x + 5 = 49\] \[2x = 44\] \[x = 22\] Проверка: \(2 \cdot 22 + 5 = 49 > 0\). Ответ: 22. 2) \(\log_{6} (x^2 + 5x - 10) = \log_{6} (x + 2)\) Переходим к равенству аргументов при условии их положительности: \[x^2 + 5x - 10 = x + 2\] \[x^2 + 4x - 12 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = -6, x_2 = 2\] Проверим ОДЗ (\(x + 2 > 0\)): Для \(x_1 = -6\): \(-6 + 2 = -4 < 0\) (не подходит). Для \(x_2 = 2\): \(2 + 2 = 4 > 0\) (подходит). Ответ: 2. Задание 5. Вычислите значение выражения: \[\frac{\log_{4} 8 + \log_{4} 2}{2 \log_{3} 12 - \log_{3} 16} = \frac{\log_{4} (8 \cdot 2)}{\log_{3} 12^2 - \log_{3} 16} = \frac{\log_{4} 16}{\log_{3} \frac{144}{16}} = \frac{2}{\log_{3} 9} = \frac{2}{2} = 1\] Задание 6. Решите уравнение: 1) \(\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 3) = 1\) ОДЗ: \(x - 1 > 0\) и \(x + 3 > 0\), то есть \(x > 1\). \[\log_{5} ((x - 1)(x + 3)) = 1\] \[(x - 1)(x + 3) = 5^1\] \[x^2 + 2x - 3 = 5\] \[x^2 + 2x - 8 = 0\] Корни: \(x_1 = -4, x_2 = 2\). С учетом ОДЗ (\(x > 1\)) подходит только \(x = 2\). Ответ: 2. 2) \(\log_{2} x + 25 \log_{x} 2 = 10\) ОДЗ: \(x > 0, x \neq 1\). Используем формулу \(\log_{x} 2 = \frac{1}{\log_{2} x}\). Пусть \(\log_{2} x = t\), тогда: \[t + \frac{25}{t} = 10\] \[t^2 - 10t + 25 = 0\] \[(t - 5)^2 = 0\] \[t = 5\] Возвращаемся к замене: \[\log_{2} x = 5\] \[x = 2^5 = 32\] Ответ: 32.