Решение задачи: Трехзначное число делится на 11

Задача №1 Пусть задуманное трехзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — его цифры. По условию задачи: 1. Число делится на 11. Признак делимости на 11 для трехзначного числа: сумма крайних цифр минус средняя цифра должна делиться на 11. То есть \( (a + c) - b = 0 \) или \( (a + c) - b = 11 \). 2. Последняя цифра в 4 раза меньше первой: \( a = 4c \). 3. Разность задуманного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке (\( \overline{cba} \)), меньше 400. Рассмотрим возможные значения цифр \( a \) и \( c \): Так как \( a = 4c \) и \( a \) — цифра (от 1 до 9), возможны два случая: 1) Если \( c = 1 \), то \( a = 4 \). 2) Если \( c = 2 \), то \( a = 8 \). (Если \( c \ge 3 \), то \( a \ge 12 \), что невозможно для цифры). Проверим первый случай: \( a = 4 \), \( c = 1 \). Используем признак делимости на 11: \( (4 + 1) - b = 0 \Rightarrow b = 5 \). Число 451. \( (4 + 1) - b = 11 \Rightarrow b = -6 \) (невозможно). Проверим условие с разностью: \[ 451 - 154 = 297 \] \( 297 < 400 \) — условие выполняется. Проверим второй случай: \( a = 8 \), \( c = 2 \). Используем признак делимости на 11: \( (8 + 2) - b = 0 \Rightarrow b = 10 \) (невозможно, \( b \) — цифра). \( (8 + 2) - b = 11 \Rightarrow b = -1 \) (невозможно). Значит, этот случай не подходит. Таким образом, единственное подходящее число — 451. Ответ: 451.