Решение задачи: Признаки подобия треугольников

Ниже представлено решение задач с карточки по теме Признаки подобия треугольников. Оформление выполнено так, чтобы было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(DN \perp AB\), \(DF \perp BC\), \(AD = 5\), \(DN = 4\), \(DF = 3,5\). Найти: \(CD\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ADN\) и \(CDF\). Они прямоугольные, так как \(DN \perp AB\) и \(DF \perp BC\). 2. В параллелограмме противоположные углы равны, значит \(\angle A = \angle C\). 3. Следовательно, \(\triangle ADN \sim \triangle CDF\) по первому признаку подобия (по двум углам). 4. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{AD}{CD} = \frac{DN}{DF} \] 5. Подставим известные значения: \[ \frac{5}{CD} = \frac{4}{3,5} \] \[ CD = \frac{5 \cdot 3,5}{4} = \frac{17,5}{4} = 4,375 \] Ответ: \(4,375\). Задача 2 Дано: \(MF \parallel AB\), \(AC = 27\), \(FC = 18\), \(BC = 30\), \(AB = 15\). Найти: \(MF\), \(BM\). Решение: 1. Так как \(MF \parallel AB\), то \(\triangle ABC \sim \triangle MFC\) по двум углам (\(\angle C\) — общий, \(\angle CAB = \angle CFM\) как соответственные). 2. Составим пропорцию: \[ \frac{MF}{AB} = \frac{FC}{AC} = \frac{MC}{BC} \] 3. Найдем \(MF\): \[ \frac{MF}{15} = \frac{18}{27} \] \[ MF = \frac{15 \cdot 18}{27} = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10 \] 4. Найдем \(MC\): \[ \frac{18}{27} = \frac{MC}{30} \Rightarrow MC = \frac{18 \cdot 30}{27} = \frac{2 \cdot 30}{3} = 20 \] 5. Найдем \(BM\): \[ BM = BC - MC = 30 - 20 = 10 \] Ответ: \(MF = 10\), \(BM = 10\). Задача 3 Дано: \(\angle BDC = \angle ABC\), \(BC = 9\), \(BD = 12\), \(AB = 15,6\). Найти: \(AC\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle BDC\). У них \(\angle C\) — общий, а \(\angle ABC = \angle BDC\) по условию. 2. Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle BDC\) по двум углам. 3. Составим отношение сходственных сторон (лежащих против равных углов): \[ \frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BD} \] 4. Подставим значения: \[ \frac{AC}{9} = \frac{15,6}{12} \] \[ AC = \frac{9 \cdot 15,6}{12} = \frac{3 \cdot 15,6}{4} = 3 \cdot 3,9 = 11,7 \] Ответ: \(11,7\). Задача 4 Дано: \(\angle C = 90^\circ\), \(MF \perp AB\), \(BC = 24\), \(MF = 12\), \(AF = 9\). Найти: \(AC\), \(AB\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle AMF\). Они прямоугольные (\(\angle C = 90^\circ\), \(\angle MFA = 90^\circ\)) и имеют общий острый угол \(A\). 2. Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle AMF\) по двум углам. 3. По теореме Пифагора для \(\triangle AMF\): \[ AM = \sqrt{MF^2 + AF^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] 4. Из подобия треугольников: \[ \frac{BC}{MF} = \frac{AC}{AF} = \frac{AB}{AM} \] 5. Найдем \(AC\): \[ \frac{24}{12} = \frac{AC}{9} \Rightarrow 2 = \frac{AC}{9} \Rightarrow AC = 18 \] 6. Найдем \(AB\): \[ \frac{24}{12} = \frac{AB}{15} \Rightarrow 2 = \frac{AB}{15} \Rightarrow AB = 30 \] Ответ: \(AC = 18\), \(AB = 30\).