Решение задач 15 и 16 по геометрии

Ниже представлены решения задач со второй и третьей страниц. Задание 15. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 21 \), \( BC = 28 \). Найти: \( R \) (радиус описанной окружности). Решение: 1) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы: \( R = \frac{AB}{2} \). 2) Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \] 3) Найдем радиус: \[ R = \frac{35}{2} = 17,5 \] Ответ: 17,5 Задание 16. Дано: \( r = 23\sqrt{3} \) (радиус вписанной окружности равностороннего треугольника). Найти: \( a \) (сторона треугольника). Решение: Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой: \[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \] Отсюда сторона \( a \): \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 23\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 23 = 138 \] Ответ: 138 Задание 17. Дано: один из углов параллелограмма равен \( 59^\circ \). Найти: больший угол. Решение: Сумма соседних углов параллелограмма равна \( 180^\circ \). Если один угол острый (\( 59^\circ \)), то второй (тупой) будет равен: \[ 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ \] Ответ: 121 Задание 18. Дано: треугольник на клетчатой бумаге. Найти: длину средней линии, параллельной стороне \( AC \). Решение: 1) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. 2) По рисунку найдем длину стороны \( AC \), посчитав клетки: \( AC = 6 \) клеток. 3) Длина средней линии: \[ m = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Ответ: 3 Задание 19. Какие из утверждений верны? 1) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника. (Верно — это определение центра описанной окружности). 2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. (Верно — ромб является параллелограммом, для которого эта формула справедлива). 3) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. (Неверно — в тупоугольном треугольнике центр лежит вне его). Ответ: 12 Задание 20. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x^2 + y = 24 \\ 3x^2 - y = 8 \end{cases} \] Решение: Сложим два уравнения системы: \[ (5x^2 + y) + (3x^2 - y) = 24 + 8 \] \[ 8x^2 = 32 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \] Подставим \( x^2 = 4 \) во второе уравнение: \[ 3 \cdot 4 - y = 8 \] \[ 12 - y = 8 \] \[ y = 4 \] Получаем две пары решений: \( (2; 4) \) и \( (-2; 4) \). Ответ: (2; 4), (-2; 4)