Решение задач на нахождение производной функции

Вариант 1 Задание №1 Найдите производную функции: а) \( f(x) = 2x^2 + 4 \) Решение: Используем правила дифференцирования \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \( C' = 0 \). \[ f'(x) = (2x^2)' + (4)' = 2 \cdot 2x + 0 = 4x \] Ответ: \( f'(x) = 4x \) б) \( f(x) = 4x^3 + 6x + 3 \) Решение: \[ f'(x) = (4x^3)' + (6x)' + (3)' = 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 1 + 0 = 12x^2 + 6 \] Ответ: \( f'(x) = 12x^2 + 6 \) Задание №2 Найдите производную функции: а) \( g(x) = (x^3 + 6x - 3)(x + 1) \) Решение: Применим формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = x^3 + 6x - 3 \), тогда \( u' = 3x^2 + 6 \). Пусть \( v = x + 1 \), тогда \( v' = 1 \). \[ g'(x) = (3x^2 + 6)(x + 1) + (x^3 + 6x - 3) \cdot 1 \] Раскроем скобки: \[ g'(x) = 3x^3 + 3x^2 + 6x + 6 + x^3 + 6x - 3 \] Приведем подобные слагаемые: \[ g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \] Ответ: \( g'(x) = 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 \) б) \( g(x) = \frac{4x - 7}{x^2 + 4} \) Решение: Применим формулу производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). \[ g'(x) = \frac{(4x - 7)'(x^2 + 4) - (4x - 7)(x^2 + 4)'}{(x^2 + 4)^2} \] \[ g'(x) = \frac{4(x^2 + 4) - (4x - 7)(2x)}{(x^2 + 4)^2} \] \[ g'(x) = \frac{4x^2 + 16 - (8x^2 - 14x)}{(x^2 + 4)^2} \] \[ g'(x) = \frac{4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x}{(x^2 + 4)^2} \] \[ g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2} \] Ответ: \( g'(x) = \frac{-4x^2 + 14x + 16}{(x^2 + 4)^2} \) Задание №3 Найдите производную функции в точке: \( f(x) = 4x^3 - 2x + 117 \), в точке \( x_0 = -2 \). Решение: 1) Сначала найдем общую формулу производной: \[ f'(x) = (4x^3)' - (2x)' + (117)' = 12x^2 - 2 \] 2) Теперь вычислим значение производной в заданной точке \( x_0 = -2 \): \[ f'(-2) = 12 \cdot (-2)^2 - 2 \] \[ f'(-2) = 12 \cdot 4 - 2 = 48 - 2 = 46 \] Ответ: \( f'(-2) = 46 \)